Adım 1: Verilen oranları yorumlayalım.

• $|DC| = 2|AD|$ eşitliğinden, $|AD| = k$ dersek, $|DC| = 2k$ olur. Böylece $|AC| = |AD| + |DC| = k + 2k = 3k$ olur.

• $2|EC| = 3|BE|$ eşitliğinden, $|BE| = 2m$ dersek, $|EC| = 3m$ olur. Böylece $|BC| = |BE| + |EC| = 2m + 3m = 5m$ olur.

Adım 2: $A(BDE)$ alanını kullanarak $A(BDC)$ alanını bulalım.

• $BDE$ ve $DEC$ üçgenlerinin $D$ noktasından $BC$ kenarına indirilen yükseklikleri aynıdır. Bu nedenle alanları, taban uzunluklarıyla orantılıdır:

  $\frac{A(BDE)}{A(DEC)} = \frac{|BE|}{|EC|}$

• Verilen $2|EC| = 3|BE|$ oranından $\frac{|BE|}{|EC|} = \frac{2}{3}$ olduğunu biliyoruz.

• $A(BDE) = 4 \text{ cm}^2$ olduğu için:

  $\frac{4}{A(DEC)} = \frac{2}{3}$

  $2 \cdot A(DEC) = 4 \cdot 3 \implies 2 \cdot A(DEC) = 12 \implies A(DEC) = 6 \text{ cm}^2$

• $BDC$ üçgeninin alanı, $A(BDC) = A(BDE) + A(DEC) = 4 + 6 = 10 \text{ cm}^2$ olur.

Adım 3: $A(BDC)$ alanını kullanarak $A(ABC)$ alanını bulalım.

• $ABD$ ve $BDC$ üçgenlerinin $B$ noktasından $AC$ kenarına indirilen yükseklikleri aynıdır. Bu nedenle alanları, taban uzunluklarıyla orantılıdır:

  $\frac{A(ABD)}{A(BDC)} = \frac{|AD|}{|DC|}$

• Verilen $|DC| = 2|AD|$ oranından $\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{1}{2}$ olduğunu biliyoruz.

• $A(BDC) = 10 \text{ cm}^2$ olduğu için:

  $\frac{A(ABD)}{10} = \frac{1}{2}$

  $2 \cdot A(ABD) = 10 \implies A(ABD) = 5 \text{ cm}^2$

• $ABC$ üçgeninin alanı, $A(ABC) = A(ABD) + A(BDC) = 5 + 10 = 15 \text{ cm}^2$ olur.

Cevap C seçeneğidir.