Verilen bilgilere göre, $A(ABC)$ alanını adım adım bulalım.

• 1. $A(ACE)$ alanını hesaplayalım:

Üçgenler $DCE$ ve $ACE$, $C$ noktasından $AD$ kenarına inen ortak yüksekliğe sahiptir. Bu durumda alanları, taban uzunluklarının oranıyla orantılıdır.

Verilen: $|AE| = 3|DE|$.

Bu durumda, $\frac{A(ACE)}{A(DCE)} = \frac{|AE|}{|DE|} = 3$.

$A(DCE) = 3 \text{ cm}^2$ olarak verildiğine göre,

$A(ACE) = 3 \times A(DCE) = 3 \times 3 = 9 \text{ cm}^2$.

• 2. $A(ADC)$ alanını hesaplayalım:

$A(ADC)$ alanı, $A(ACE)$ ve $A(DCE)$ alanlarının toplamıdır.

$A(ADC) = A(ACE) + A(DCE) = 9 + 3 = 12 \text{ cm}^2$.

• 3. $A(ABD)$ alanını hesaplayalım:

Üçgenler $ADC$ ve $ABD$, $A$ noktasından $BC$ kenarına inen ortak yüksekliğe sahiptir. Bu durumda alanları, taban uzunluklarının oranıyla orantılıdır.

Verilen: $|DC| = 3|BD|$.

Bu durumda, $\frac{A(ADC)}{A(ABD)} = \frac{|DC|}{|BD|} = 3$.

$A(ADC) = 12 \text{ cm}^2$ olarak bulduğumuza göre,

$A(ABD) = \frac{A(ADC)}{3} = \frac{12}{3} = 4 \text{ cm}^2$.

• 4. $A(ABC)$ alanını hesaplayalım:

$A(ABC)$ alanı, $A(ABD)$ ve $A(ADC)$ alanlarının toplamıdır.

$A(ABC) = A(ABD) + A(ADC) = 4 + 12 = 16 \text{ cm}^2$.

Cevap D seçeneğidir.