Verilen bilgilere göre, ABC bir üçgendir ve $2|AD| = 3|DB|$ bağıntısı ile $A(\triangle ABC) = 30 \text{ cm}^2$ değeri verilmiştir. Bizden $A(\triangle BDC)$ değeri istenmektedir.

• Öncelikle, $2|AD| = 3|DB|$ eşitliğinden $|AD|$ ve $|DB|$ arasındaki oranı bulalım:

  $$ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{3}{2} $$

• $\triangle ADC$ ve $\triangle BDC$ üçgenleri, C köşesinden AB kenarına indirilen ortak yüksekliğe (h) sahiptir. Bu durumda, tabanları aynı doğru üzerinde olan ve ortak yüksekliğe sahip üçgenlerin alanları oranı, tabanlarının oranına eşittir:

  $$ \frac{A(\triangle ADC)}{A(\triangle BDC)} = \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{3}{2} $$

• Buradan, $A(\triangle ADC) = \frac{3}{2} A(\triangle BDC)$ yazabiliriz.
• $\triangle ABC$'nin alanı, $\triangle ADC$ ve $\triangle BDC$ üçgenlerinin alanlarının toplamına eşittir:

  $$ A(\triangle ABC) = A(\triangle ADC) + A(\triangle BDC) $$

• Verilen değerleri ve bulduğumuz oranı yerine koyalım:

  $$ 30 = \frac{3}{2} A(\triangle BDC) + A(\triangle BDC) $$

• Denklemi çözelim:

  $$ 30 = \left(\frac{3}{2} + 1\right) A(\triangle BDC) $$

  $$ 30 = \left(\frac{3+2}{2}\right) A(\triangle BDC) $$

  $$ 30 = \frac{5}{2} A(\triangle BDC) $$

• $A(\triangle BDC)$ değerini bulmak için her iki tarafı $\frac{2}{5}$ ile çarpalım:

  $$ A(\triangle BDC) = 30 \times \frac{2}{5} $$

  $$ A(\triangle BDC) = 6 \times 2 $$

  $$ A(\triangle BDC) = 12 \text{ cm}^2 $$

Cevap C seçeneğidir.