Verilen üçgen ve kenar uzunlukları ile alan oranını bulmak için sinüs alan formülünü kullanacağız. Bir üçgenin alanı, iki kenarının çarpımının yarısı ile bu iki kenar arasındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.

• 1. Üçgen BDE'nin Alanını Bulalım:

Üçgen BDE'nin kenarları $|BD| = 3$ cm ve $|BE| = 2$ cm'dir. Bu iki kenar arasındaki açıya $\beta$ diyelim (yani $\angle DBE = \beta$).

Alan formülü $A = \frac{1}{2}ab \sin C$ kullanılarak:

$$ A(BDE) = \frac{1}{2} |BD| \cdot |BE| \sin \beta $$ $$ A(BDE) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \sin \beta $$ $$ A(BDE) = 3 \sin \beta $$
• 2. Üçgen ABC'nin Alanını Bulalım:

Üçgen ABC'nin kenarları $|AB|$ ve $|BC|$'dir. Bu iki kenar arasındaki açı $\angle ABC = \beta$'dır.

Kenar uzunluklarını hesaplayalım:

• $|AB| = |AD| + |DB| = 2 + 3 = 5$ cm
• $|BC| = |BE| + |EC| = 2 + 4 = 6$ cm

Alan formülü kullanılarak:

$$ A(ABC) = \frac{1}{2} |AB| \cdot |BC| \sin \beta $$ $$ A(ABC) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \sin \beta $$ $$ A(ABC) = 15 \sin \beta $$
• 3. İstenen Oranı Hesaplayalım:

Şimdi $A(ABC)$'nin $A(BDE)$'ye oranını bulalım:

$$ \frac{A(ABC)}{A(BDE)} = \frac{15 \sin \beta}{3 \sin \beta} $$

$\sin \beta$ terimleri sadeleşir (çünkü bir üçgenin açısı olduğu için $\sin \beta \neq 0$).

$$ \frac{A(ABC)}{A(BDE)} = \frac{15}{3} $$ $$ \frac{A(ABC)}{A(BDE)} = 5 $$

Cevap D seçeneğidir.