Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, D noktası BC kenarının orta noktasıdır ($|BD| = |DC| = 18$ cm). ABC dik üçgen olduğundan, hipotenüse ait kenarortay ($AD$) hipotenüsün yarısına eşittir. Bu durumda $|AD| = |BD| = |DC| = 18$ cm olur.
- F noktası AC kenarının orta noktasıdır ($|AF| = |FC|$). Bu durumda BF, ABC üçgeninin bir kenarortayıdır. AD ve BF kenarortayları G noktasında kesiştiği için G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.
- Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. AD kenarortayı için $|AG| = 2|GD|$ olur. $|AD| = 18$ cm olduğundan, $|GD| = \frac{1}{3}|AD| = \frac{1}{3} \times 18 = 6$ cm bulunur.
- Şimdi $\triangle BDG$ üçgeni ve C-K-E doğrusu için Menelaus Teoremi'ni uygulayalım. C, K, E noktaları doğrusaldır.
- C noktası BD doğrusunun üzerindedir (D, B ile C arasındadır).
- K noktası GD kenarının üzerindedir.
- E noktası BG kenarının üzerindedir.
- Verilen değerleri yerine yazalım:
- $|BD| = |DC| = 18$ cm olduğundan, $|BC| = |BD| + |DC| = 18 + 18 = 36$ cm'dir. Böylece $\frac{BC}{CD} = \frac{36}{18} = 2$ olur.
- $|BE| = |EG|$ verildiğinden, $\frac{GE}{EB} = 1$ olur.
- Denklemi çözdüğümüzde $\frac{DK}{KG} = \frac{1}{2}$ elde ederiz. Bu da $|KG| = 2|DK|$ anlamına gelir.
- Daha önce $|GD| = 6$ cm bulmuştuk. Ayrıca $|GD| = |GK| + |KD|$ olduğunu biliyoruz. $6 = |GK| + |KD|$. $|KD|$ yerine $\frac{1}{2}|GK|$ yazarsak: $6 = |GK| + \frac{1}{2}|GK|$. $6 = \frac{3}{2}|GK|$.
- Son olarak, $|GK|$ uzunluğunu hesaplarsak: $|GK| = 6 \times \frac{2}{3} = 4$ cm.
- Doğru Seçenek D'dır.