Sorunun Çözümü
- Üçgenin köşelerini koordinat sistemine yerleştirelim. $A=(0,0)$ olsun. $[AB] \perp [AC]$ olduğu için $B=(0, 2b)$ ve $C=(2c, 0)$ olarak alınabilir.
- $|BC|=60 cm$ bilgisi kullanılarak Pisagor Teoremi uygulanır: $(2b)^2 + (2c)^2 = 60^2 \implies 4b^2 + 4c^2 = 3600 \implies b^2+c^2 = 900$.
- $|AD|=|DB|$ olduğundan D, AB kenarının orta noktasıdır. $D = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+2b}{2}) = (0, b)$.
- $|AF|=|FC|$ olduğundan F, AC kenarının orta noktasıdır. $F = (\frac{0+2c}{2}, \frac{0+0}{2}) = (c, 0)$.
- E noktası BF üzerindedir ve $|EF|=2|BE|$ ilişkisi vardır. Bu, E noktasının B ve F noktalarını $1:2$ oranında böldüğü anlamına gelir ($BE:EF = 1:2$). E noktasının koordinatları $E = \frac{2B+1F}{1+2}$ formülüyle bulunur.
- $E = \frac{2(0, 2b) + 1(c, 0)}{3} = \frac{(0, 4b) + (c, 0)}{3} = (\frac{c}{3}, \frac{4b}{3})$.
- Şimdi $|DE|=x$ uzunluğunu bulmak için D ve E noktaları arasındaki uzaklık formülünü kullanalım. $D=(0, b)$ ve $E=(\frac{c}{3}, \frac{4b}{3})$.
- $x^2 = (\frac{c}{3} - 0)^2 + (\frac{4b}{3} - b)^2$
- $x^2 = (\frac{c}{3})^2 + (\frac{4b-3b}{3})^2 = (\frac{c}{3})^2 + (\frac{b}{3})^2$
- $x^2 = \frac{c^2}{9} + \frac{b^2}{9} = \frac{b^2+c^2}{9}$.
- Daha önce $b^2+c^2=900$ bulmuştuk. Bu değeri yerine koyarsak: $x^2 = \frac{900}{9} = 100$.
- $x = \sqrt{100} = 10 cm$.
- Doğru Seçenek D'dır.