Sorunun Çözümü
- $\triangle ABC$ dik üçgeninde, $[AE]$ açıortay olduğundan Açıortay Teoremi'ne göre $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BE|}{|EC|}$'dir.
- Verilen $|BE| = 3$ br ve $|EC| = 5$ br değerlerini yerine koyarsak $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{3}{5}$ olur. Bu durumda $|AB| = 3k$ ve $|AC| = 5k$ diyebiliriz.
- $\triangle ABC$ bir dik üçgen olduğundan Pisagor Teoremi'ni uygulayabiliriz: $|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$. $|BC| = |BE| + |EC| = 3 + 5 = 8$ br. $(3k)^2 + 8^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 64 = 25k^2 \Rightarrow 16k^2 = 64 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = 2$.
- Kenar uzunluklarını bulalım: $|AB| = 3(2) = 6$ br ve $|AC| = 5(2) = 10$ br.
- D noktası $[AC]$'nin orta noktası olduğundan $|AD| = |DC| = \frac{|AC|}{2} = \frac{10}{2} = 5$ br'dir.
- Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir. Bu durumda $|BD| = \frac{|AC|}{2} = \frac{10}{2} = 5$ br'dir.
- D noktasından $[AE]$'ye paralel bir doğru çizelim ve $[BC]$ kenarını G noktasında kessin. Yani $DG \parallel AE$.
- $\triangle AEC$ üçgeninde, D noktası $[AC]$'nin orta noktası ve $DG \parallel AE$ olduğundan, G noktası $[EC]$'nin orta noktasıdır. Bu durumda $|EG| = |GC| = \frac{|EC|}{2} = \frac{5}{2}$ br olur.
- $|BG|$ uzunluğunu bulalım: $|BG| = |BE| + |EG| = 3 + \frac{5}{2} = \frac{6+5}{2} = \frac{11}{2}$ br.
- $DG \parallel AE$ olduğundan $\triangle BFE$ ile $\triangle BDG$ benzer üçgenlerdir (A.A. benzerliği). Benzerlik oranını yazalım: $\frac{|BF|}{|BD|} = \frac{|BE|}{|BG|}$.
- Değerleri yerine koyalım: $\frac{|BF|}{5} = \frac{3}{\frac{11}{2}} = \frac{6}{11}$.
- $|BF| = 5 \cdot \frac{6}{11} = \frac{30}{11}$ br.
- Bizden istenen $|FD| = x$ uzunluğudur. $|FD| = |BD| - |BF|$ olduğundan: $x = 5 - \frac{30}{11} = \frac{55 - 30}{11} = \frac{25}{11}$ br.
- Doğru Seçenek D'dır.