Sorunun Çözümü
- $G$ ağırlık merkezi olduğundan, medyanları $2:1$ oranında böler. Bu nedenle, $|BG| = 2|GE|$'dir. Verilen $|GE| = 12 cm$ olduğundan, $|BG| = 2 \times 12 = 24 cm$ olur.
- $AG \perp BE$ ve $G$ medyanların kesim noktası (ağırlık merkezi) olduğundan, $\triangle AGB$ bir dik üçgendir ve $\angle AGB = 90^\circ$'dir.
- $\triangle AGB$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: $|AB|^2 = |AG|^2 + |BG|^2$. Verilen $|AG| = 7 cm$ ve hesapladığımız $|BG| = 24 cm$ değerlerini yerine koyarsak: $|AB|^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$. Buradan $|AB| = \sqrt{625} = 25 cm$ bulunur.
- Medyan uzunluklarını $m_a, m_b, m_c$ olarak gösterelim. $G$ ağırlık merkezi olduğundan, $|AG| = \frac{2}{3}m_a \implies 7 = \frac{2}{3}m_a \implies m_a = \frac{21}{2} = 10.5 cm$. Benzer şekilde, $|GE| = \frac{1}{3}m_b \implies 12 = \frac{1}{3}m_b \implies m_b = 36 cm$. Aradığımız $|CG| = x$ olduğundan, $m_c = \frac{3}{2}|CG| = \frac{3x}{2}$ olur.
- Apollonius Teoremi'ne göre, bir üçgende kenar uzunlukları $a, b, c$ ve bu kenarlara ait medyan uzunlukları $m_a, m_b, m_c$ için aşağıdaki bağıntılar geçerlidir:
- $4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$
- $4m_b^2 = 2a^2 + 2c^2 - b^2$
- $4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2$
- İlk iki denklemi kullanarak $|AC|^2$ ve $|BC|^2$ değerlerini bulalım:
- $4(10.5)^2 = 2|AC|^2 + 2(25)^2 - |BC|^2 \implies 441 = 2|AC|^2 + 1250 - |BC|^2 \implies |BC|^2 - 2|AC|^2 = 809$. (Denklem 1)
- $4(36)^2 = 2|BC|^2 + 2(25)^2 - |AC|^2 \implies 5184 = 2|BC|^2 + 1250 - |AC|^2 \implies |AC|^2 - 2|BC|^2 = -3934$. (Denklem 2)
- Son olarak, $m_c$ için Apollonius Teoremi'ni kullanalım: $4m_c^2 = 2|AC|^2 + 2|BC|^2 - |AB|^2$. $4(\frac{3x}{2})^2 = 2(772) + 2(2353) - (25)^2$. $4(\frac{9x^2}{4}) = 1544 + 4706 - 625$. $9x^2 = 6250 - 625$. $9x^2 = 5625$. $x^2 = \frac{5625}{9} = 625$. $x = \sqrt{625} = 25 cm$.
- Doğru Seçenek E'dır.