Sorunun Çözümü
- $G$ ağırlık merkezi olduğundan, $AD$, $BE$ ve $CF$ kenarortaylardır.
- Bu durumda $F$, $AB$'nin orta noktasıdır ve $|AF| = |FB| = 3$ br'dir. Dolayısıyla $|AB| = 6$ br'dir.
- Benzer şekilde $E$, $AC$'nin orta noktasıdır ve $|AE| = |EC| = 4$ br'dir. Dolayısıyla $|AC| = 8$ br'dir.
- $F$ ve $E$ orta noktalar olduğundan, $FE$ doğru parçası $\triangle ABC$'nin orta tabanıdır. Bu yüzden $FE \parallel BC$'dir.
- $\triangle ABD$'de $F$, $AB$'nin orta noktası ve $FK \parallel BD$ (çünkü $FE \parallel BC$) olduğundan, $K$ noktası $AD$'nin orta noktasıdır. Yani $|AK| = |KD|$.
- $G$ ağırlık merkezi olduğundan, $AD$ kenarortayını $A$'dan $D$'ye doğru $2:1$ oranında böler. Yani $|AG| = 2|GD|$.
- $|GD| = m$ dersek, $|AG| = 2m$ olur. Böylece $|AD| = |AG| + |GD| = 2m + m = 3m$ olur.
- $K$, $AD$'nin orta noktası olduğundan, $|KD| = \frac{|AD|}{2} = \frac{3m}{2}$ olur.
- $|KG| = |KD| - |GD| = \frac{3m}{2} - m = \frac{m}{2}$ olur.
- $\triangle ABC$ dik üçgen ve $\angle A = 90^\circ$ olduğundan, Pisagor Teoremi ile $|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ bulunur. Buradan $|BC| = 10$ br'dir.
- Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay (muhteşem üçlü) hipotenüsün yarısına eşittir. Bu yüzden $|AD| = \frac{|BC|}{2} = \frac{10}{2} = 5$ br'dir.
- $|AD| = 3m = 5$ olduğundan, $m = \frac{5}{3}$ br'dir.
- $|KG| = x = \frac{m}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{6}$ br'dir.
- Doğru Seçenek E'dır.