Sorunun Çözümü
- G ağırlık merkezi olduğundan, kenarortayları $2:1$ oranında böler. Bu nedenle, $|AG| = 2|GD|$ ve $|BG| = 2|GE|$'dir.
- Verilen değerleri kullanarak $|AG|$ ve $|BG|$ uzunluklarını hesaplayalım: $|AG| = 2 \times 4 = 8$ cm ve $|BG| = 2 \times 3 = 6$ cm.
- $[AG] \perp [BE]$ verildiği için, $\triangle AGB$ bir dik üçgendir. Pisagor teoremini kullanarak $|AB|$ kenar uzunluğunu bulalım: $|AB|^2 = |AG|^2 + |BG|^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. Buradan $|AB| = 10$ cm bulunur.
- G ağırlık merkezi olduğundan, C köşesinden çizilen kenarortay (CF diyelim) G noktasından geçer ve F noktası AB kenarının orta noktasıdır. $\triangle AGB$ dik üçgeninde, $GF$ hipotenüse ait kenarortaydır.
- Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir: $|GF| = \frac{|AB|}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm.
- Son olarak, ağırlık merkezi özelliğini kullanarak $|GC|$ uzunluğunu bulalım: $|GC| = 2|GF| = 2 \times 5 = 10$ cm.
- Doğru Seçenek D'dır.