Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $\triangle ABD$ dik üçgendir ($\angle B = 90^\circ$).
- $[DB]$ açıortay olduğu için $\angle ADB = \angle CDB$ olur.
- Açıortay özelliğinden, B noktasının AD ve DC doğrularına olan uzaklıkları eşittir. Bu uzaklığa $h$ diyelim.
- $\triangle ABD$ için, AD kenarına ait yükseklik $h$'dir. $|AD|=15$ br.
- $\triangle DBC$ için, DC kenarına ait yükseklik $h$'dir. $|DC|=24$ br.
- $\triangle ABD$ dik üçgeninde, $|AD|^2 = |AB|^2 + |DB|^2 \implies 15^2 = |AB|^2 + |DB|^2 \implies 225 = |AB|^2 + |DB|^2$.
- $\triangle DBC$ ikizkenar üçgendir çünkü $|DB| = |BC|$ verilmiştir. DC kenarına ait yükseklik (B'den DC'ye inen dikme) DC'yi iki eşit parçaya böler. Bu yükseklik $h$'dir.
- DC'nin orta noktasına M dersek, $|DM| = |MC| = \frac{|DC|}{2} = \frac{24}{2} = 12$ br.
- $\triangle BDM$ dik üçgeninde, $|DB|^2 = h^2 + |DM|^2 \implies |DB|^2 = h^2 + 12^2 \implies |DB|^2 = h^2 + 144$.
- $225 = |AB|^2 + (h^2 + 144) \implies |AB|^2 + h^2 = 81$.
- $\triangle ABD$ dik üçgeninde, hipotenüse ait yükseklik formülünden $h = \frac{|AB| \cdot |DB|}{|AD|} \implies h = \frac{|AB| \cdot |DB|}{15} \implies 15h = |AB| \cdot |DB|$.
- Her iki tarafın karesini alırsak $225h^2 = |AB|^2 \cdot |DB|^2$.
- $|AB|^2 = 81 - h^2$ ve $|DB|^2 = h^2 + 144$ değerlerini yerine koyarsak: $225h^2 = (81 - h^2)(h^2 + 144)$.
- $225h^2 = 81h^2 + 81 \cdot 144 - h^4 - 144h^2$.
- $225h^2 = -h^4 + (81 - 144)h^2 + 11664$.
- $225h^2 = -h^4 - 63h^2 + 11664$.
- $h^4 + (225 + 63)h^2 - 11664 = 0 \implies h^4 + 288h^2 - 11664 = 0$.
- $h^2 = H$ dersek, $H^2 + 288H - 11664 = 0$. İkinci derece denklem çözümünden:
- $H = \frac{-288 \pm \sqrt{288^2 - 4(1)(-11664)}}{2} = \frac{-288 \pm \sqrt{82944 + 46656}}{2} = \frac{-288 \pm \sqrt{129600}}{2}$.
- $\sqrt{129600} = 360$ olduğundan, $H = \frac{-288 \pm 360}{2}$. $H$ pozitif olmalı, bu yüzden $H = \frac{-288 + 360}{2} = \frac{72}{2} = 36$.
- $h^2 = 36 \implies h = 6$ br.
- $\triangle DBC$, [DB] boyunca katlandığında $\triangle DBC'$ elde edildiği için $\triangle DBC \cong \triangle DBC'$ olur. Dolayısıyla $|DC'| = |DC| = 24$ br.
- Ayrıca, $\angle CDB = \angle C'DB$ olur. $[DB]$ açıortay olduğundan $\angle ADB = \angle CDB$ idi. Bu durumda $\angle ADB = \angle C'DB$ olur.
- Bu eşitlik, DA ışını ile DC' ışınının aynı olduğunu gösterir. Yani A, D, C' noktaları doğrusaldır.
- $|DC'| = 24$ br ve $|AD| = 15$ br olduğundan, A noktası D ile C' arasındadır (D-A-C' sıralaması).
- Bu durumda $|AC'| = |DC'| - |AD| = 24 - 15 = 9$ br olur.
- $\triangle ABC'$ üçgeninin alanı, tabanı $|AC'|$ ve bu tabana ait yükseklik $h$ kullanılarak bulunur.
- Alan($\triangle ABC'$) = $\frac{1}{2} \cdot |AC'| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27$ br$^2$.
- Doğru Seçenek D'dır.