Sorunun Çözümü
- Verilen alan formüllerini kullanarak $|AC|$ ve $|DC|$ arasındaki oranı bulalım.
- $Alan(ABC) = \frac{1}{2} |AC| \cdot |BD| = 45 cm^2$
- $Alan(BDC) = \frac{1}{2} |DC| \cdot |BD| = 9 cm^2$
- Dik üçgen $ABC$'de $BD$ yüksekliği için Öklid bağıntılarından birini kullanalım: $|BC|^2 = |DC| \cdot |AC|$.
- $|BC|^2 = |DC| \cdot (5|DC|) = 5|DC|^2$
- Buradan $|BC| = |DC|\sqrt{5}$ bulunur.
- $ABC$ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım: $|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$.
- $|AB|^2 = |AC|^2 - |BC|^2$
- $|AB|^2 = (5|DC|)^2 - (5|DC|^2) = 25|DC|^2 - 5|DC|^2 = 20|DC|^2$
- Buradan $|AB| = |DC|\sqrt{20} = 2|DC|\sqrt{5}$ bulunur.
- $Alan(ABC)$ formülünü $|AB|$ ve $|BC|$ cinsinden yazıp $|DC|$ değerini bulalım.
- $Alan(ABC) = \frac{1}{2} |AB| \cdot |BC| = 45$
- $\frac{1}{2} (2|DC|\sqrt{5}) (|DC|\sqrt{5}) = 45$
- $\frac{1}{2} (2 \cdot 5 \cdot |DC|^2) = 45$
- $5|DC|^2 = 45 \implies |DC|^2 = 9 \implies |DC| = 3 cm$
- Son olarak, $|AC| = 5|DC|$ ilişkisini kullanarak $|AC|$ uzunluğunu hesaplayalım.
- $|AC| = 5 \cdot 3 = 15 cm$
- Doğru Seçenek C'dır.