Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $\triangle ABC$ ve $\triangle DEC$ üçgenleri benzerdir. Çünkü her ikisi de dik üçgendir ($[AB] \perp [AC]$ ve $[DE] \perp [BC]$) ve $\angle C$ açısı ortaktır.
- Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Yani, $\frac{\text{Alan (}\triangle ABC\text{)}}{\text{Alan (}\triangle DEC\text{)}} = \left(\frac{|AC|}{|EC|}\right)^2$.
- Soruda $\frac{\text{Alan (ABED)}}{\text{Alan (DEC)}} = 2$ verilmiştir. Bu, Alan (ABED) $= 2 \cdot$ Alan (DEC) demektir.
- Alan (ABED) $= \text{Alan (}\triangle ABC\text{)} - \text{Alan (}\triangle DEC\text{)}$ olduğundan, $\text{Alan (}\triangle ABC\text{)} - \text{Alan (}\triangle DEC\text{)} = 2 \cdot \text{Alan (}\triangle DEC\text{)}$.
- Bu eşitlikten $\text{Alan (}\triangle ABC\text{)} = 3 \cdot \text{Alan (}\triangle DEC\text{)}$ sonucuna ulaşırız.
- Şimdi alan oranını benzerlik oranı karesiyle eşitleyelim: $3 = \left(\frac{|AC|}{|EC|}\right)^2$.
- Verilen $|EC| = 4$ birim değerini yerine yazalım: $3 = \left(\frac{|AC|}{4}\right)^2$.
- Denklemi çözelim: $3 = \frac{|AC|^2}{16}$.
- $|AC|^2 = 3 \cdot 16 = 48$.
- $|AC| = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ birim.
- Doğru Seçenek B'dır.