Sorunun Çözümü
- Eşkenar üçgenin kenar uzunluğu: Başlangıçtaki eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu $4 cm$'dir.
- Dönme sonrası köşe konumları: B köşesi etrafında iki defa $90^\circ$ döndürme yapıldığında, tüm üçgenler eşkenar ve kenar uzunlukları $4 cm$ kalır. Dönme merkezi B olduğundan, B'den diğer köşelere olan uzaklıklar değişmez. Bu nedenle $BA = BA' = BA'' = 4 cm$ ve $BC = BC' = BC'' = 4 cm$'dir.
- $AA''$ uzunluğunun bulunması:
- İlk dönmede $\angle ABA' = 90^\circ$.
- İkinci dönmede $\angle A'BA'' = 90^\circ$.
- Bu durumda $\angle ABA'' = \angle ABA' + \angle A'BA'' = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$'dir.
- A, B ve A'' noktaları doğrusal olduğundan, $AA''$ uzunluğu $BA + BA''$ toplamına eşittir.
- $AA'' = 4 cm + 4 cm = 8 cm$. Bu, $\triangle AC'A''$ üçgeninin tabanıdır.
- C' noktasının $AA''$ doğrusuna uzaklığının (yüksekliğin) bulunması:
- $\triangle ABC$ eşkenar üçgen olduğundan $\angle ABC = 60^\circ$'dir.
- İlk dönmede C köşesi C' konumuna geldiğinden $\angle CBC' = 90^\circ$'dir.
- $\angle ABC' = \angle ABC + \angle CBC' = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$'dir.
- $AA''$ doğrusu, $BA$ doğrusunun B etrafında $180^\circ$ döndürülmüş halidir. Dolayısıyla $BA''$ ve $BA$ zıt yönlüdür.
- $\angle A''BC' = 180^\circ - \angle ABC' = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$'dir.
- $\triangle AC'A''$ üçgeninin $AA''$ tabanına ait yüksekliği, C' noktasının $AA''$ doğrusuna olan uzaklığıdır. Bu uzaklık, $\triangle A''BC'$ üçgeninde $BC'$ kenarının $BA''$ kenarına olan yüksekliğidir.
- Yükseklik $h = BC' \sin(\angle A''BC') = 4 cm \cdot \sin(30^\circ) = 4 cm \cdot \frac{1}{2} = 2 cm$.
- $\triangle AC'A''$ üçgeninin alanının hesaplanması:
- Üçgenin alanı formülü $\frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik}$ kullanılarak hesaplanır.
- Alan $= \frac{1}{2} \cdot AA'' \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 cm \cdot 2 cm = 8 cm^2$.
- Doğru Seçenek A'dır.