Sorunun Çözümü
- Koordinat Sistemi Kurulumu:
- $B$ noktasını orijin $(0,0)$ olarak alalım.
- $[DB] \perp [BC]$ olduğundan, $D$ noktasını y-ekseni üzerinde ve $C$ noktasını x-ekseni üzerinde yerleştirebiliriz.
- $|DB|=6$ birim olduğundan $D=(0,6)$.
- $|BC|=8$ birim olduğundan $C=(8,0)$.
- A Noktasının Koordinatlarını Bulma:
- $A=(x,y)$ olsun.
- $\triangle ABC$ dik üçgen ve $|AB|=|AC|$ olduğundan, Pisagor Teoremi'nden $2|AB|^2 = |BC|^2 \implies 2|AB|^2 = 8^2 = 64 \implies |AB|^2 = 32$.
- $|AB|^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2 = 32$.
- $[AB] \perp [AC]$ olduğundan, $\vec{BA} \cdot \vec{CA} = 0$. $\vec{BA} = (x,y)$ ve $\vec{CA} = (x-8, y)$.
- $x(x-8) + y \cdot y = 0 \implies x^2 - 8x + y^2 = 0$.
- $x^2 + y^2 = 32$ ifadesini yerine koyarsak: $32 - 8x = 0 \implies 8x = 32 \implies x = 4$.
- $x=4$ değerini $x^2 + y^2 = 32$ denkleminde yerine koyarsak: $4^2 + y^2 = 32 \implies 16 + y^2 = 32 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4$.
- Şekle göre $A$ noktası pozitif y-değerine sahiptir, bu yüzden $y=4$.
- $A=(4,4)$.
- Alan(ADB) Hesabı:
- $\triangle ADB$ üçgeninin köşeleri $A=(4,4)$, $D=(0,6)$ ve $B=(0,0)$'dır.
- Taban olarak $DB$ kenarını alırsak, $DB$ y-ekseni üzerindedir ve uzunluğu $|DB|=6$ birimdir.
- Bu tabana ait yükseklik, $A$ noktasının y-eksenine olan uzaklığıdır, yani $A$ noktasının x-koordinatıdır.
- Yükseklik $h = 4$ birimdir.
- Alan($\triangle ADB$) = $\frac{1}{2} \times |DB| \times h = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ birimkare.
- Doğru Seçenek A'dır.