Sorunun Çözümü
- Açıortayların Özelliği: $\triangle ABC$ dik üçgen olduğundan $\angle A = 90^\circ$. BK ve CK açıortaylardır. Bu durumda, $\angle KBC = \frac{\angle B}{2}$ ve $\angle KCB = \frac{\angle C}{2}$ olur. $\triangle ABC$'de $\angle B + \angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Dolayısıyla, $\angle KBC + \angle KCB = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} = \frac{\angle B + \angle C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
- $\triangle KBC$ Açısı: $\triangle KBC$ üçgeninde iç açılar toplamı $180^\circ$'dir. Bu nedenle, $\angle BKC = 180^\circ - (\angle KBC + \angle KCB) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
- Alan Hesaplaması: Bir üçgenin alanı, iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsü kullanılarak hesaplanır. Alan($KBC$) $= \frac{1}{2} |BK| |CK| \sin(\angle BKC)$.
- Değerleri Yerine Koyma: Verilen $|BK| = 3\sqrt{2}$ birim, $|CK| = 8$ birim ve $\angle BKC = 135^\circ$ değerlerini formülde yerine koyalım. $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Hesaplama: Alan($KBC$) $= \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \frac{2}{2} = 12$ birimkare.
- Doğru Seçenek A'dır.