Sorunun Çözümü
- $ABC$ ikizkenar üçgen olduğundan ve $|AB|=|AC|$ verildiğinden, $A$ noktasından $BC$ kenarına indirilen dikme ayağı $H$ noktası $BC$'nin orta noktasıdır.
- $|BC| = |BD| + |DC| = 12 + 20 = 32$ birimdir.
- $H$ orta nokta olduğundan $|BH| = |HC| = \frac{32}{2} = 16$ birimdir.
- $D$ noktası $BC$ üzerindedir. $|DH| = |BH| - |BD| = 16 - 12 = 4$ birimdir. (Veya $|DH| = |DC| - |HC| = 20 - 16 = 4$ birimdir.)
- $AH$ yüksekliğini $h$ olarak adlandıralım. $\triangle ADH$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi'nden $|AD|^2 = |AH|^2 + |DH|^2 = h^2 + 4^2 = h^2 + 16$ olur.
- $\triangle AHC$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi'nden $|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2 = h^2 + 16^2 = h^2 + 256$ olur.
- Soruda $[DA] \perp [AC]$ verildiğinden, $\triangle DAC$ bir dik üçgendir ve dik açı $A$ köşesindedir.
- $\triangle DAC$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi'nden $|DC|^2 = |AD|^2 + |AC|^2$ olur.
- Verilen değerleri yerine yazarsak: $20^2 = (h^2 + 16) + (h^2 + 256)$.
- $400 = 2h^2 + 272$.
- $2h^2 = 400 - 272 = 128$.
- $h^2 = 64 \Rightarrow h = 8$ birimdir.
- $Alan(ABD)$ üçgeninin tabanı $|BD|=12$ birim ve bu tabana ait yükseklik $h=8$ birimdir.
- $Alan(ABD) = \frac{1}{2} \times |BD| \times h = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 6 \times 8 = 48$ birimkaredir.
- Doğru Seçenek E'dır.