Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $\triangle ABC$ bir dik üçgendir ve dik açı A noktasındadır ($[AB] \perp [AC]$).
- $|AD| = |AC|$ olduğu için $\triangle ADC$ bir ikizkenar üçgendir. $|BD| = 7$ birim ve $|DC| = 2$ birimdir.
- $|BC| = |BD| + |DC| = 7 + 2 = 9$ birimdir.
- $\triangle ADC$ ikizkenar üçgen olduğundan, $|AD| = |AC| = x$ diyelim.
- $\triangle ABC$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım: $|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2$. Yani, $|AB|^2 + x^2 = 9^2 = 81$.
- $\angle ACB = \alpha$ diyelim. $\triangle ADC$ ikizkenar olduğundan $\angle ADC = \angle ACD = \alpha$ olur.
- $\triangle ABC$ dik üçgeninde $\cos \alpha = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{x}{9}$ olur.
- $\triangle ABD$ üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulayalım: $|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos(\angle ADB)$.
- $\angle ADB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - \alpha$ olduğundan $\cos(\angle ADB) = -\cos \alpha$ olur.
- $|AB|^2 = x^2 + 7^2 - 2 \cdot x \cdot 7 \cdot (-\cos \alpha) = x^2 + 49 + 14x \cos \alpha$.
- $\cos \alpha = \frac{x}{9}$ değerini yerine koyalım: $|AB|^2 = x^2 + 49 + 14x \left(\frac{x}{9}\right) = x^2 + 49 + \frac{14x^2}{9}$.
- Daha önce bulduğumuz $|AB|^2 = 81 - x^2$ ifadesiyle eşitleyelim: $81 - x^2 = x^2 + 49 + \frac{14x^2}{9}$.
- Denklemi çözelim: $81 - 49 = 2x^2 + \frac{14x^2}{9} \Rightarrow 32 = \frac{18x^2 + 14x^2}{9} \Rightarrow 32 = \frac{32x^2}{9}$.
- Buradan $x^2 = 9$ ve $x = 3$ birim bulunur. Yani $|AD| = |AC| = 3$ birimdir.
- $\triangle ADC$ üçgeninin alanını bulmak için, A noktasından DC kenarına bir yükseklik indirelim. Bu yüksekliğin ayağına H diyelim.
- $\triangle ADC$ ikizkenar üçgen ($AD=AC=3$) ve tabanı $DC=2$ birimdir. İkizkenar üçgende eşit kenarların birleştiği köşeden indirilen yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler.
- Dolayısıyla, $DH = HC = \frac{|DC|}{2} = \frac{2}{2} = 1$ birimdir.
- $\triangle AHC$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım: $|AH|^2 + |HC|^2 = |AC|^2$.
- $|AH|^2 + 1^2 = 3^2 \Rightarrow |AH|^2 + 1 = 9 \Rightarrow |AH|^2 = 8$.
- $|AH| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ birimdir. Bu, $\triangle ADC$'nin yüksekliğidir.
- Alan($\triangle ADC$) = $\frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \cdot |DC| \cdot |AH|$.
- Alan($\triangle ADC$) = $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ birimkaredir.
- Doğru Seçenek B'dır.