Sorunun Çözümü
- ABC üçgeni ikizkenar olduğundan ($|AB|=|AC|=10$ br), A köşesinden BC kenarına bir AH yüksekliği çizilir. Bu yükseklik, BC'yi H noktasında iki eşit parçaya böler ($BH=HC$) ve $\hat{A}$ açısını da iki eşit parçaya böler ($\hat{BAH} = \hat{CAH}$).
- $\hat{A}$ açısı $2\alpha$ olsun. O zaman $\hat{BAH} = \alpha$ olur. Verilen $tan(\hat{A}) = \frac{4}{3}$ ifadesini $tan(2\alpha) = \frac{4}{3}$ olarak yazabiliriz.
- Tanjantın yarım açı formülü ($tan(2\alpha) = \frac{2tan(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)}$) kullanılarak:
$\frac{2tan(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)} = \frac{4}{3}$
$6tan(\alpha) = 4 - 4tan^2(\alpha)$
$4tan^2(\alpha) + 6tan(\alpha) - 4 = 0$
$2tan^2(\alpha) + 3tan(\alpha) - 2 = 0$
Bu denklemi çarpanlarına ayırırsak $(2tan(\alpha)-1)(tan(\alpha)+2) = 0$ bulunur. $\alpha$ bir üçgenin açısı olduğundan $tan(\alpha) > 0$ olmalıdır. Bu yüzden $tan(\alpha) = \frac{1}{2}$. - $\triangle AHB$ dik üçgeninde $tan(\hat{BAH}) = tan(\alpha) = \frac{BH}{AH} = \frac{1}{2}$'dir. Yani $AH = 2BH$.
- Pisagor teoreminden $AH^2 + BH^2 = AB^2$ eşitliğini kullanırız:
$(2BH)^2 + BH^2 = 10^2$
$4BH^2 + BH^2 = 100$
$5BH^2 = 100$
$BH^2 = 20$
$BH = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ br.
$AH = 2BH = 2(2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5}$ br. - $\triangle AHC$ dik üçgeninde, $HC = BH = 2\sqrt{5}$ br.
$tan(\hat{C}) = \frac{AH}{HC}$
$tan(\hat{C}) = \frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$
$tan(\hat{C}) = 2$. - Doğru Seçenek E'dır.