Soru Çözümü
- Verilen $\triangle ABC$ dik üçgeninde, $m(\widehat{ACB}) = 2\alpha$ açısının tanjantını bulalım.
- $tan(2\alpha) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{5}{12}$
- Tanjantın yarım açı formülünü kullanalım: $tan(2\alpha) = \frac{2 tan \alpha}{1 - tan^2 \alpha}$
- $tan \alpha = x$ diyelim. Denklemi yerine yazalım: $\frac{5}{12} = \frac{2x}{1 - x^2}$
- İçler dışlar çarpımı yapalım: $5(1 - x^2) = 12(2x) \Rightarrow 5 - 5x^2 = 24x$
- Denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem elde edelim: $5x^2 + 24x - 5 = 0$
- Bu denklemi çarpanlarına ayıralım: $(5x - 1)(x + 5) = 0$
- Buradan $x = \frac{1}{5}$ veya $x = -5$ değerleri bulunur.
- $2\alpha$ bir dik üçgenin iç açısı olduğu için $0 < 2\alpha < 90^\circ$ ve dolayısıyla $0 < \alpha < 45^\circ$ olmalıdır. Bu durumda $tan \alpha$ pozitif bir değer almalıdır.
- Bu nedenle, $tan \alpha = \frac{1}{5}$'tir.
- Doğru Seçenek E'dır.