Sorunun Çözümü
- Karenin bir kenar uzunluğunu belirleyelim. $3|DE| = |EA|$ bilgisini kullanarak, $|DE| = k$ dersek, $|EA| = 3k$ olur. Karenin bir kenarı $|AD| = |DE| + |EA| = k + 3k = 4k$ olur. Dolayısıyla $|CD| = 4k$.
- $\triangle EDC$ dik üçgenini inceleyelim. D köşesinde dik açı vardır. Kenar uzunlukları $|DE| = k$ ve $|CD| = 4k$'dır.
- $m(\widehat{ECD}) = \alpha$ diyelim. Bu dik üçgende $\tan\alpha = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} = \frac{|DE|}{|CD|} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4}$ olur.
- $\theta$ açısı ile $\alpha$ açısı arasındaki ilişkiyi bulalım. Karenin bir iç açısı $90^\circ$ olduğundan $m(\widehat{BCD}) = 90^\circ$'dır. Şekilde görüldüğü gibi $\theta = m(\widehat{ECB}) = m(\widehat{BCD}) - m(\widehat{ECD}) = 90^\circ - \alpha$.
- Trigonometrik özdeşlikleri kullanalım: $\sin\theta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ ve $\cos\theta = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. Bu durumda bizden istenen $\sin\theta + \cos\theta = \cos\alpha + \sin\alpha$ toplamıdır.
- $\tan\alpha = \frac{1}{4}$ bilgisini kullanarak $\sin\alpha$ ve $\cos\alpha$ değerlerini bulalım. Karşı dik kenarı 1, komşu dik kenarı 4 olan bir dik üçgen çizersek, hipotenüs uzunluğu Pisagor Teoremi'nden $h = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$ olur.
- Buna göre, $\sin\alpha = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$ ve $\cos\alpha = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$ olur.
- Son olarak, $\sin\theta + \cos\theta$ toplamını hesaplayalım: $\sin\theta + \cos\theta = \cos\alpha + \sin\alpha = \frac{4\sqrt{17}}{17} + \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{5\sqrt{17}}{17}$.
- Doğru Seçenek C'dır.