Sorunun Çözümü
- G ağırlık merkezi olduğundan, AD bir kenarortaydır. Bu durumda D, BC kenarının orta noktasıdır.
- Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden kenara doğru $2:1$ oranında böler. Bu nedenle $|AG| = 2|GD|$ ve $|AD| = 3|GD|$. Yani $|AD| = 3x$.
- AC kenarının orta noktasını M olarak alalım. BM de bir kenarortaydır.
- Ağırlık merkezi özelliğinden $|BG| = 2|GM|$'dir. Verilen $|BG| = 6$ br olduğundan, $|GM| = 3$ br olur.
- BM kenarortayının uzunluğu $|BM| = |BG| + |GM| = 6 + 3 = 9$ br'dir.
- ABC ikizkenar üçgen ve $|AB| = |BC|$ olduğundan, AC tabandır. M, AC'nin orta noktası olduğundan $|AM| = |MC| = \frac{|AC|}{2} = \frac{8}{2} = 4$ br'dir.
- BM kenarortay uzunluk formülünü kullanalım: $2(AB^2 + BC^2) = 4BM^2 + AC^2$. Veya Apollonius Teoremi: $AB^2 + BC^2 = 2(BM^2 + AM^2)$. $|AB| = |BC|$ olduğundan, $2|AB|^2 = 2(9^2 + 4^2)$. $|AB|^2 = 81 + 16 = 97$ br$^2$.
- Şimdi AD kenarortayının uzunluk formülünü kullanalım: $2(AB^2 + AC^2) = 4AD^2 + BC^2$. Veya Apollonius Teoremi: $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$. $|AD|^2 = \frac{2|AB|^2 + 2|AC|^2 - |BC|^2}{4}$. $|AB| = |BC|$ olduğundan, $|AD|^2 = \frac{2|AC|^2 + |AB|^2}{4}$. $|AD|^2 = \frac{2(8^2) + 97}{4}$. $|AD|^2 = \frac{2(64) + 97}{4} = \frac{128 + 97}{4} = \frac{225}{4}$.
- $|AD| = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}$ br.
- Biz $|AD| = 3x$ olduğunu biliyoruz. O halde $3x = \frac{15}{2}$'dir.
- $x = \frac{15}{2 \cdot 3} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$ br.
- Doğru Seçenek A'dır.