Sorunun Çözümü
- $G$ ağırlık merkezi olduğundan, $CD$ bir kenarortaydır. Kenarortaylar ağırlık merkezi tarafından $2:1$ oranında bölünür. Bu durumda, $|CG| = 2|GD|$ olur.
- Verilen $|GC| = 18$ br olduğundan, $18 = 2|GD|$ eşitliğinden $|GD| = 9$ br bulunur.
- $G$ ağırlık merkezi olduğundan, $AE$ de bir kenarortaydır. Bu nedenle $|AG| = 2|GE|$ olur.
- Soruda verilen $|AF| = |FG|$ eşitliği ve $F$ noktasının $AG$ üzerinde olması nedeniyle, $F$ noktası $AG$ doğru parçasının orta noktasıdır.
- $\triangle ADG$ üçgeni ve $B-K-F$ doğrusu için Menelaus Teoremi'ni uygulayalım. $D$ noktası $AB$'nin orta noktası olduğundan $|AD| = |DB|$ ve dolayısıyla $|AB| = 2|DB|$ olur. $F$ noktası $AG$'nin orta noktası olduğundan $|AF| = |FG|$ ve $\frac{|GF|}{|FA|} = 1$ olur.
- Menelaus Teoremi: $(\frac{|AB|}{|BD|}) \cdot (\frac{|DK|}{|KG|}) \cdot (\frac{|GF|}{|FA|}) = 1$
- Değerleri yerine yazarsak: $2 \cdot (\frac{|DK|}{|KG|}) \cdot 1 = 1 \implies \frac{|DK|}{|KG|} = \frac{1}{2}$ olur.
- Bu oran bize $|KG| = 2|DK|$ olduğunu gösterir.
- Daha önce bulduğumuz $|GD| = 9$ br ve $|GD| = |GK| + |KD|$ eşitliğini kullanarak: $9 = |GK| + \frac{|GK|}{2}$
- $9 = \frac{3|GK|}{2} \implies 18 = 3|GK| \implies |GK| = 6$ br bulunur.
- Doğru Seçenek D'dır.