Verilen dörtgenin köşelerini kareli zeminde belirleyelim:

• Üst köşe: (4, 7)
• Sağ köşe: (7, 4)
• Alt köşe: (4, 1)
• Sol köşe: (1, 4)

Şimdi verilen ifadeleri adım adım inceleyelim:

I. Karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.

• Dörtgenin kenar uzunluklarını hesaplayalım: Her bir kenar, Pisagor teoremi ile \(\sqrt{(7-4)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}\) birimdir.
• Tüm kenarları eşit olan bir dörtgen eşkenar dörtgen (rhombus)dir.
• Eşkenar dörtgenlerin temel özelliklerinden biri, karşılıklı açılarının ölçülerinin birbirine eşit olmasıdır. Bu nedenle ifade I doğrudur.

II. Tüm kenarları birbirine eşittir.

• Yukarıda hesapladığımız gibi, dörtgenin tüm kenar uzunlukları \(\sqrt{18}\) birimdir. Bu, dörtgenin bir eşkenar dörtgen olduğunu doğrular. Bu nedenle ifade II doğrudur.

III. Köşegen uzunlukları birbirine eşittir.

• Köşegen uzunluklarını hesaplayalım:
  • Birinci köşegen (dikey): (4, 7) ile (4, 1) arasındaki mesafe \(|7-1| = 6\) birimdir.
  • İkinci köşegen (yatay): (1, 4) ile (7, 4) arasındaki mesafe \(|7-1| = 6\) birimdir.
• Bu dörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Köşegenleri eşit olan bir eşkenar dörtgen aynı zamanda bir karedir.
• Ancak, köşegen uzunluklarının eşit olması, tüm eşkenar dörtgenler için geçerli genel bir özellik değildir; sadece kare gibi özel eşkenar dörtgenler için geçerlidir. Genel bir eşkenar dörtgenin köşegenleri eşit olmak zorunda değildir. Bu tür sorularda, şekil özel bir durum (kare) olsa bile, genellikle eşkenar dörtgenin genel özellikleri sorulur. Bu bağlamda, ifade III, eşkenar dörtgenin genel bir özelliği olmadığı için yanlış kabul edilebilir.

Bu durumda, I ve II ifadeleri dörtgenin bir eşkenar dörtgen olmasından dolayı kesinlikle doğru kabul edilirken, III ifadesi eşkenar dörtgenin genel bir özelliği olmadığı için yanlış kabul edilmektedir.

Cevap A seçeneğidir.