Sorunun Çözümü
- Noktalı kağıtta H noktasını orijin (0,0) kabul ederek, diğer noktaların H'ye göre konum vektörlerini belirleyelim:
- HA vektörü: (-3, 2)
- HB vektörü: (0, 3)
- HC vektörü: (1, 2)
- HD vektörü: (3, 3)
- HE vektörü: (4, -1)
- Bir açının dik açı (90 derece) olması için, açıyı oluşturan iki vektörün skaler çarpımının 0 olması gerekir. Yani $\cos(\theta) = 0$ olmalıdır. Seçeneklerdeki açıların kosinüs değerlerini hesaplayalım:
- A) $\widehat{DHA}$ açısı:
HA = (-3, 2) ve HD = (3, 3)
$\cos(\widehat{DHA}) = \frac{HA \cdot HD}{|HA||HD|} = \frac{(-3)(3) + (2)(3)}{\sqrt{(-3)^2+2^2}\sqrt{3^2+3^2}} = \frac{-9+6}{\sqrt{9+4}\sqrt{9+9}} = \frac{-3}{\sqrt{13}\sqrt{18}} = \frac{-3}{\sqrt{234}} \approx -0.196$ - B) $\widehat{BHD}$ açısı:
HB = (0, 3) ve HD = (3, 3)
$\cos(\widehat{BHD}) = \frac{HB \cdot HD}{|HB||HD|} = \frac{(0)(3) + (3)(3)}{\sqrt{0^2+3^2}\sqrt{3^2+3^2}} = \frac{9}{3\sqrt{18}} = \frac{9}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ - C) $\widehat{EHB}$ açısı:
HE = (4, -1) ve HB = (0, 3)
$\cos(\widehat{EHB}) = \frac{HE \cdot HB}{|HE||HB|} = \frac{(4)(0) + (-1)(3)}{\sqrt{4^2+(-1)^2}\sqrt{0^2+3^2}} = \frac{-3}{\sqrt{16+1}\sqrt{9}} = \frac{-3}{3\sqrt{17}} = \frac{-1}{\sqrt{17}} \approx -0.243$ - D) $\widehat{CHE}$ açısı:
HC = (1, 2) ve HE = (4, -1)
$\cos(\widehat{CHE}) = \frac{HC \cdot HE}{|HC||HE|} = \frac{(1)(4) + (2)(-1)}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{4^2+(-1)^2}} = \frac{4-2}{\sqrt{1+4}\sqrt{16+1}} = \frac{2}{\sqrt{5}\sqrt{17}} = \frac{2}{\sqrt{85}} \approx 0.217$
- A) $\widehat{DHA}$ açısı:
- Hesaplanan kosinüs değerlerini 0'a yakınlıklarına göre sıralayalım (mutlak değerce en küçük olan 90 dereceye en yakındır):
- $|\cos(\widehat{DHA})| \approx |-0.196| = 0.196$
- $|\cos(\widehat{BHD})| \approx |0.707| = 0.707$
- $|\cos(\widehat{EHB})| \approx |-0.243| = 0.243$
- $|\cos(\widehat{CHE})| \approx |0.217| = 0.217$
- Mutlak değerce 0'a en yakın kosinüs değeri 0.196 olup, bu değer $\widehat{DHA}$ açısına aittir. Bu nedenle, çizimdeki açılar arasında dik açıya en yakın olan $\widehat{DHA}$'dır.
- Doğru Seçenek A'dır.