Sorunun Çözümü
- Açıortayları tanımla: $m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{EBC}) = \beta$ $m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{DCB}) = \gamma$ $m(\widehat{BAC}) = \alpha$
- $\triangle ADC$ üçgeninde iç açılar toplamı: $m(\widehat{DAC}) + m(\widehat{ACD}) + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ$ $\alpha + \gamma + 85^\circ = 180^\circ$ $\alpha + \gamma = 95^\circ$ (Denklem 1)
- $\triangle AEB$ üçgeninde iç açılar toplamı: $m(\widehat{BAE}) + m(\widehat{ABE}) + m(\widehat{AEB}) = 180^\circ$ $\alpha + \beta + 65^\circ = 180^\circ$ $\alpha + \beta = 115^\circ$ (Denklem 2)
- Denklem 2'den Denklem 1'i çıkar: $(\alpha + \beta) - (\alpha + \gamma) = 115^\circ - 95^\circ$ $\beta - \gamma = 20^\circ$ (Denklem 3)
- $\triangle ABC$ üçgeninde iç açılar toplamı: $m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BCA}) = 180^\circ$ $\alpha + 2\beta + 2\gamma = 180^\circ$ (Denklem 4)
- Denklem 4'te $\alpha = 95^\circ - \gamma$ (Denklem 1'den) yerine koy: $(95^\circ - \gamma) + 2\beta + 2\gamma = 180^\circ$ $95^\circ + 2\beta + \gamma = 180^\circ$ $2\beta + \gamma = 85^\circ$ (Denklem 5)
- Denklem 3 ve Denklem 5'i çöz: Denklem 3'ten $\beta = 20^\circ + \gamma$. Bunu Denklem 5'e yaz: $2(20^\circ + \gamma) + \gamma = 85^\circ$ $40^\circ + 2\gamma + \gamma = 85^\circ$ $3\gamma = 45^\circ \implies \gamma = 15^\circ$ $\beta = 20^\circ + 15^\circ = 35^\circ$
- $\triangle BFC$ üçgeninde iç açılar toplamı: $m(\widehat{FBC}) + m(\widehat{FCB}) + m(\widehat{BFC}) = 180^\circ$ $\beta + \gamma + m(\widehat{BFC}) = 180^\circ$ $35^\circ + 15^\circ + m(\widehat{BFC}) = 180^\circ$ $50^\circ + m(\widehat{BFC}) = 180^\circ$ $m(\widehat{BFC}) = 130^\circ$
- Doğru Seçenek E'dır.