Verilen eşitsizlik:

• $\frac{a+7}{15} < \frac{b+6}{15} < \frac{14}{15}$

Tüm kesirlerin paydaları aynı olduğu için, eşitsizliği paydadan kurtarmak için her tarafı 15 ile çarpabiliriz. Eşitsizlik yön değiştirmez:

• $a+7 < b+6 < 14$

Bu eşitsizliği iki ayrı eşitsizlik olarak inceleyebiliriz:

1. $a+7 < b+6$
2. $b+6 < 14$

Öncelikle ikinci eşitsizlikten $b$'nin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulalım:

• $b+6 < 14$
• $b < 14 - 6$
• $b < 8$

$b$ bir tam sayı olduğuna göre, $b$'nin alabileceği en büyük değer 7'dir.

Şimdi bu $b$ değerini (en büyük değerini) kullanarak birinci eşitsizlikten $a$'nın alabileceği en büyük tam sayı değerini bulalım. $a+b$ toplamının en çok olması için hem $a$'nın hem de $b$'nin en büyük değerlerini alması gerekir:

• $a+7 < b+6$
• $a+7 < 7+6$ (b yerine 7 yazdık)
• $a+7 < 13$
• $a < 13 - 7$
• $a < 6$

$a$ bir tam sayı olduğuna göre, $a$'nın alabileceği en büyük değer 5'tir.

Son olarak, $a+b$ toplamının en büyük değerini bulalım:

• $a+b = 5 + 7 = 12$

Cevap C seçeneğidir.