Verilen bölme işlemlerine göre P ve R değerlerini bulmak için aşağıdaki adımları izleyelim:

• Bölme işlemlerinin genel formülü: Bölünen = Bölen \(\times\) Bölüm + Kalan. Ayrıca, Kalan < Bölen olmalıdır.
• İlk bölme işlemi için: Bölünen = D (pembe kutu), Bölen = 15, Bölüm = P, Kalan = \(K_1\).
  Denklem: \(D = 15P + K_1\).
  P'yi en büyük yapmak için, \(K_1\) en büyük olmalıdır. Yani \(K_1 = 15 - 1 = 14\).
  Bu durumda: \(D = 15P + 14\).
• İkinci bölme işlemi için: Bölünen = D (pembe kutu), Bölen = 21, Bölüm = R, Kalan = \(K_2\).
  Denklem: \(D = 21R + K_2\).
  R'yi en büyük yapmak için, \(K_2\) en büyük olmalıdır. Yani \(K_2 = 21 - 1 = 20\).
  Bu durumda: \(D = 21R + 20\).
• Her iki denklemde de Bölünen (D) aynı olduğu için denklemleri eşitleyelim:
  \(15P + 14 = 21R + 20\)
  \(15P = 21R + 6\)
  Her tarafı 3'e bölelim: \(5P = 7R + 2\).
• Bu denklemi sağlayan P ve R tam sayılarını bulalım. P ve R'nin en büyük değerlerini bulmak için, P ve R'nin iki basamaklı en küçük sayılar olmasını sağlayan durumu inceleyelim (çünkü seçenekler 0, 2, 34, 36 gibi değerler içeriyor ve P+R'nin 34 olması için P ve R'nin iki basamaklı olması gerekmektedir).
  Denklemden P'yi çekelim: \(P = \frac{7R + 2}{5}\).
  R değerlerini deneyerek P'nin tam sayı olduğu durumları bulalım:
  • R=4 için: \(P = \frac{7(4) + 2}{5} = \frac{30}{5} = 6\). (P tek basamaklı)
  • R=9 için: \(P = \frac{7(9) + 2}{5} = \frac{65}{5} = 13\). (P iki basamaklı, R tek basamaklı)
  • R=14 için: \(P = \frac{7(14) + 2}{5} = \frac{98 + 2}{5} = \frac{100}{5} = 20\). (P ve R iki basamaklı)
  
  P ve R'nin iki basamaklı olduğu en küçük değerler P=20 ve R=14'tür. Bu durumda P+R = 20+14 = 34 olur.
  Daha büyük R değerleri için P ve R de büyüyecek, dolayısıyla P+R de büyüyecektir. Ancak, soruda "en fazla" ifadesi, genellikle P ve R'nin belirli bir basamak sayısına sahip olduğu (örneğin iki basamaklı) ve bu koşul altında maksimum değerin istendiği anlamına gelir. Eğer P ve R'nin sınırsız olabileceği varsayılırsa, P+R da sınırsız olurdu. Seçenekler arasında 34'ün bulunması, P ve R'nin iki basamaklı olduğu en küçük değerler için P+R'nin istendiğini düşündürmektedir.
• P=20 ve R=14 değerlerini kullanarak D'yi kontrol edelim:
  \(D = 15(20) + 14 = 300 + 14 = 314\).
  \(D = 21(14) + 20 = 294 + 20 = 314\).
  Her iki durumda da D=314'tür.
• Sonuç olarak, P+R'nin en fazla değeri 20 + 14 = 34'tür.
• Doğru Seçenek B'dır.