Bu soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Silindirlerin Özelliklerini Belirleme:

  Soruda üç adet silindir kalıp kullanıldığı belirtilmiştir. Görsel ve metindeki bilgilere göre bu silindirlerin yarıçap ve yüksekliklerini belirleyelim.

  • En küçük silindirin yüksekliği $h$ olarak verilmiş. Metinde "en küçüğünün yüksekliği taban yarıçap uzunluğuna eşittir" dendiği için, bu silindirin yarıçapı da $h$ olacaktır. Yarıçapı $r$ olarak alırsak, $h=r$ olur.
  • Üstteki küçük kalıbın yarıçapı, diğer iki kalıbın yarıçapının yarısı kadardır. Yani, diğer iki silindirin yarıçapı $2r$ olacaktır.
  • Görseldeki yüksekliklere göre:
    • Küçük silindir (üstteki): Yarıçapı $r$, Yüksekliği $r$.
    • Ortanca silindir (küçük silindirin altındaki): Yarıçapı $2r$, Yüksekliği $2h = 2r$.
    • Büyük silindir (tek başına duran): Yarıçapı $2r$, Yüksekliği $3h = 3r$.
• 2. Toplam Boyalı Alanı Hesaplama:

  Yapının tabanı dahil tamamının tüm yüzleri boyandığında 1824 cm$^2$ alan boyanmış oluyor. Boyanan yüzeyleri tek tek hesaplayalım ($\pi=3$ alınız):

  • Küçük silindir (üstte):
    • Üst taban alanı: $\pi r^2 = 3r^2$
    • Yanal alan: $2\pi r \cdot r = 2 \cdot 3 \cdot r^2 = 6r^2$
  • Ortanca silindir (altta, küçük silindirin altında):
    • Üst tabanının görünen kısmı (halka): $\pi (2r)^2 - \pi r^2 = 3(4r^2) - 3r^2 = 12r^2 - 3r^2 = 9r^2$
    • Yanal alan: $2\pi (2r) \cdot (2r) = 2 \cdot 3 \cdot 4r^2 = 24r^2$
    • Alt taban alanı (zemine değen): $\pi (2r)^2 = 3(4r^2) = 12r^2$
  • Büyük silindir (tek başına):
    • Üst taban alanı: $\pi (2r)^2 = 3(4r^2) = 12r^2$
    • Yanal alan: $2\pi (2r) \cdot (3r) = 2 \cdot 3 \cdot 6r^2 = 36r^2$
    • Alt taban alanı (zemine değen): $\pi (2r)^2 = 3(4r^2) = 12r^2$

  Toplam boyalı alan = $(3r^2 + 6r^2) + (9r^2 + 24r^2 + 12r^2) + (12r^2 + 36r^2 + 12r^2)$

  Toplam boyalı alan = $9r^2 + 45r^2 + 60r^2 = 114r^2$

• 3. $r$ Değerini Bulma:

  Toplam boyalı alan 1824 cm$^2$ olarak verilmiştir:

  $114r^2 = 1824$

  $r^2 = \frac{1824}{114}$

  $r^2 = 16$

  $r = 4$ cm (Yarıçap pozitif olmalıdır.)

• 4. En Büyük Silindirin Hacmini Hesaplama:

  Silindirlerin özelliklerini tekrar gözden geçirelim:

  • Küçük silindir: Yarıçap $r=4$, Yükseklik $r=4$.
  • Ortanca silindir: Yarıçap $2r=8$, Yükseklik $2r=8$.
  • Büyük silindir: Yarıçap $2r=8$, Yükseklik $3r=12$.

  En büyük silindir, yarıçapı $2r=8$ cm ve yüksekliği $3r=12$ cm olan silindirdir.

  Hacim formülü: $V = \pi \cdot (\text{yarıçap})^2 \cdot \text{yükseklik}$

  $V = 3 \cdot (8)^2 \cdot 12$

  $V = 3 \cdot 64 \cdot 12$

  $V = 192 \cdot 12$

  $V = 2304$ cm$^3$

Cevap A seçeneğidir.