Öncelikle kutunun boyutlarını belirleyelim:

• Kutu, dik dairesel silindir şeklindedir.
• Taban çapı yüksekliğine eşittir: \(2r = h\).
• Yanal yüzey alanı \(A_{yan} = 48 \text{ cm}^2\).
• Yanal yüzey alanı formülü: \(A_{yan} = 2 \pi r h\).
• \(\pi = 3\) alınız.

Formülde \(h = 2r\) ve \(\pi = 3\) değerlerini yerine koyarsak:

• \(48 = 2 \times 3 \times r \times (2r)\)
• \(48 = 12 r^2\)
• \(r^2 = 4\)
• \(r = 2 \text{ cm}\)

Kutunun yarıçapı \(r = 2 \text{ cm}\) ve yüksekliği \(h = 2r = 2 \times 2 = 4 \text{ cm}\) olur.

Bu durumda kutunun tabanı, çapı \(2r = 4 \text{ cm}\) olan bir dairedir. Lego parçalarının kutuya sığması için:

1. Lego parçasının tabanı, kutunun taban dairesi içine sığmalıdır (yani lego tabanının en uzun köşegeni kutu tabanının çapından küçük veya eşit olmalıdır).
2. Lego parçasının yüksekliği, kutunun yüksekliğinden (\(4 \text{ cm}\)) küçük veya eşit olmalıdır.

Şimdi her bir lego parçasını inceleyelim:

A) Küp:

• Boyutlar: \(3 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} \times 3 \text{ cm}\).
• Yükseklik: \(3 \text{ cm}\) (\(\le 4 \text{ cm}\) - Uyar).
• Taban: \(3 \text{ cm} \times 3 \text{ cm}\) kare.
• Taban köşegeni: \(3\sqrt{2} \text{ cm}\).
• Kutunun taban çapı: \(4 \text{ cm}\).
• \(3\sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242 \text{ cm}\).
• \(4.242 \text{ cm} > 4 \text{ cm}\) olduğu için küpün tabanı kutuya sığmaz.

B) Dik Dairesel Silindir:

• Yarıçap: \(2\sqrt{3} \text{ cm}\), Yükseklik: \(3 \text{ cm}\).
• Yükseklik: \(3 \text{ cm}\) (\(\le 4 \text{ cm}\) - Uyar).
• Taban yarıçapı: \(2\sqrt{3} \text{ cm}\).
• Kutunun taban yarıçapı: \(2 \text{ cm}\).
• \(2\sqrt{3} \approx 2 \times 1.732 = 3.464 \text{ cm}\).
• \(3.464 \text{ cm} > 2 \text{ cm}\) olduğu için silindirin tabanı kutuya sığmaz.

C) Dikdörtgenler Prizması:

• Boyutlar: \(4 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} \times 2 \text{ cm}\).
• Prizmayı \(3 \text{ cm} \times 2 \text{ cm}\) yüzeyi üzerine oturtursak:
• Yükseklik: \(4 \text{ cm}\) (\(\le 4 \text{ cm}\) - Uyar).
• Taban: \(3 \text{ cm} \times 2 \text{ cm}\) dikdörtgen.
• Taban köşegeni: \(\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \text{ cm}\).
• Kutunun taban çapı: \(4 \text{ cm}\).
• \(\sqrt{13} \approx 3.606 \text{ cm}\).
• \(3.606 \text{ cm} \le 4 \text{ cm}\) olduğu için dikdörtgenler prizmasının tabanı kutuya sığar.
• Bu durumda dikdörtgenler prizması kutuya yerleştirilebilir.

D) Dik Dairesel Koni:

• Taban yarıçapı: \(\sqrt{11} \text{ cm}\), Ana doğru (yanal ayrıt): \(2\sqrt{5} \text{ cm}\).
• Koninin yüksekliğini bulalım: \(h_{koni}^2 + r_{koni}^2 = l^2\).
• \(h_{koni}^2 + (\sqrt{11})^2 = (2\sqrt{5})^2\)
• \(h_{koni}^2 + 11 = 20\)
• \(h_{koni}^2 = 9 \implies h_{koni} = 3 \text{ cm}\).
• Yükseklik: \(3 \text{ cm}\) (\(\le 4 \text{ cm}\) - Uyar).
• Taban yarıçapı: \(\sqrt{11} \text{ cm}\).
• Kutunun taban yarıçapı: \(2 \text{ cm}\).
• \(\sqrt{11} \approx 3.317 \text{ cm}\).
• \(3.317 \text{ cm} > 2 \text{ cm}\) olduğu için koninin tabanı kutuya sığmaz.

Yapılan incelemeler sonucunda sadece Dikdörtgenler Prizması kutuya yerleştirilebilir.

Cevap C seçeneğidir.