Verilen bilgilere göre, bir üçgenin iki kenar uzunluğu 5 cm ve 12 cm'dir. Bu iki kenar arasındaki açı $\theta$ olmak üzere, $\theta > 90^\circ$ olarak çizilmiştir. Çizilen üçgenin kenar uzunlukları doğal sayıdır ve bizden en uzun kenarın alabileceği en küçük değeri bulmamız isteniyor.

• 1. Üçüncü Kenarı Belirleme:
  Üçgenin üçüncü kenar uzunluğuna $x$ diyelim. Kosinüs Teoremi'ne göre: $$x^2 = 5^2 + 12^2 - 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot \cos\theta$$ $$x^2 = 25 + 144 - 120 \cos\theta$$ $$x^2 = 169 - 120 \cos\theta$$
• 2. Açı Koşulunu Uygulama:
  Soruda $\theta > 90^\circ$ olduğu belirtilmiştir. Bir açının 90 dereceden büyük olması durumunda, o açının kosinüs değeri negatif olur ($\cos\theta < 0$). Bu durumda, $-120 \cos\theta$ ifadesi pozitif olacaktır. Dolayısıyla, $x^2 = 169 - 120 \cos\theta > 169$ olur. Buradan $x > \sqrt{169} \Rightarrow x > 13$ sonucuna ulaşırız.
• 3. Üçgen Eşitsizliğini Uygulama:
  Bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirten üçgen eşitsizliğine göre:
  • $5 + 12 > x \Rightarrow 17 > x$
  • $5 + x > 12 \Rightarrow x > 7$
  • $12 + x > 5$ (Bu eşitsizlik, $x > 7$ olduğu için zaten sağlanır.)
  Bu eşitsizliklerden $x < 17$ ve $x > 7$ elde ederiz.
• 4. Kenar Uzunluklarının Doğal Sayı Olması ve En Uzun Kenar:
  $x$ bir doğal sayı olmalıdır. Elde ettiğimiz koşulları birleştirelim: $x > 13$ ve $x < 17$. Bu durumda $x$ için olası doğal sayı değerleri 14, 15, 16'dır. Üçgenin kenarları 5, 12 ve $x$'tir. $x > 13$ olduğu için, $x$ değeri her zaman 5 ve 12'den daha büyük olacaktır. Dolayısıyla, $x$ bu üçgenin en uzun kenarıdır.
• 5. En Küçük Değeri Bulma:
  En uzun kenar olan $x$'in alabileceği en küçük doğal sayı değeri, 14, 15, 16 seçenekleri arasından 14'tür.

Cevap D seçeneğidir.