Verilen problemde, bir NZM üçgeni içinde L noktası ZM kenarı üzerinde yer almaktadır. Bize bazı kenar uzunlukları verilmiş ve |LM| uzunluğu sorulmaktadır.
- Verilenler:
- $|NZ| = 13 \text{ cm}$
- $|NL| = 13 \text{ cm}$
- $|ZL| = 10 \text{ cm}$
- $|NM| = 20 \text{ cm}$
- İstenen: $|LM|$ uzunluğu.
Bu problemi çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.
Adım 1: $\triangle NZL$ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak $\angle NLZ$ açısının kosinüsünü bulalım.
$\triangle NZL$ üçgeninde kenar uzunlukları $|NZ|=13$, $|NL|=13$ ve $|ZL|=10$'dur. $\angle NLZ$ açısına $\alpha$ diyelim.
Kosinüs Teoremi'ne göre:
$$|NZ|^2 = |NL|^2 + |ZL|^2 - 2 \cdot |NL| \cdot |ZL| \cdot \cos(\alpha)$$
Verilen değerleri yerine yazalım:
$$13^2 = 13^2 + 10^2 - 2 \cdot 13 \cdot 10 \cdot \cos(\alpha)$$
$$169 = 169 + 100 - 260 \cdot \cos(\alpha)$$
$$0 = 100 - 260 \cdot \cos(\alpha)$$
$$260 \cdot \cos(\alpha) = 100$$
$$\cos(\alpha) = \frac{100}{260} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$$
Adım 2: $\triangle NLM$ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak $|LM|$ uzunluğunu bulalım.
$\triangle NLM$ üçgeninde kenar uzunlukları $|NL|=13$, $|NM|=20$ ve $|LM|$ (bilinmeyen) şeklindedir. $\angle NLM$ açısı, $\angle NLZ$ açısının bütünleridir, yani $\angle NLM = 180^\circ - \alpha$.
Bu durumda $\cos(\angle NLM) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$ olur.
Yani, $\cos(\angle NLM) = -\frac{5}{13}$.
Şimdi $\triangle NLM$ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım. $|LM|$ uzunluğuna $x$ diyelim:
$$|NM|^2 = |NL|^2 + |LM|^2 - 2 \cdot |NL| \cdot |LM| \cdot \cos(\angle NLM)$$
Verilen değerleri ve bulduğumuz $\cos(\angle NLM)$ değerini yerine yazalım:
$$20^2 = 13^2 + x^2 - 2 \cdot 13 \cdot x \cdot \left(-\frac{5}{13}\right)$$
$$400 = 169 + x^2 + 2 \cdot x \cdot 5$$
$$400 = 169 + x^2 + 10x$$
Adım 3: Oluşan ikinci dereceden denklemi çözelim.
Denklemi düzenleyelim:
$$x^2 + 10x + 169 - 400 = 0$$
$$x^2 + 10x - 231 = 0$$
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları -231 ve toplamları 10 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar 21 ve -11'dir.
$$(x + 21)(x - 11) = 0$$
Buradan iki olası çözüm elde ederiz:
- $x + 21 = 0 \implies x = -21$
- $x - 11 = 0 \implies x = 11$
Uzunluk negatif olamayacağı için, $|LM|$ uzunluğu $11 \text{ cm}$ olmalıdır.
Cevap C seçeneğidir.