Verilen PRS üçgeninde aşağıdaki bilgiler mevcuttur:

• Açı sıralaması: $m(\hat{P}) > m(\hat{R}) > m(\hat{S})$
• RS kenarının uzunluğu: $|RS| = 15$ cm
• PRS üçgeni çeşitkenar bir üçgendir (tüm kenar uzunlukları farklıdır).
• Kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayıdır.

Adım 1: Açı-Kenar İlişkisini Kullanma

Bir üçgende büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur. Bu kurala göre, verilen açı sıralaması $m(\hat{P}) > m(\hat{R}) > m(\hat{S})$ olduğundan, bu açıların karşısındaki kenarların uzunlukları arasında da aynı sıralama olmalıdır:

• $\hat{P}$ açısının karşısındaki kenar: $|RS|$
• $\hat{R}$ açısının karşısındaki kenar: $|PS|$
• $\hat{S}$ açısının karşısındaki kenar: $|PR|$

Bu durumda kenar uzunlukları için: $|RS| > |PS| > |PR|$ olur.

Adım 2: Kenar Uzunluklarını Yerine Koyma

$|RS| = 15$ cm olarak verildiğine göre:

$15 > |PS| > |PR|$

Soruda $|PR|$ kenarının uzunluğunun en çok kaç olabileceği soruluyor. $|PR|$ ve $|PS|$ kenar uzunlukları tam sayı olduğuna göre, $|PR|$'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri, $|PS|$'nin alabileceği en büyük tam sayı değerinden bir küçük olmalıdır. Yani, $|PS|$ en fazla $14$ olabilir, bu durumda $|PR|$ en fazla $13$ olabilir.

Şimdilik $|PR| = 13$ ve $|PS| = 14$ değerlerini aday olarak alalım.

Adım 3: Üçgen Eşitsizliğini Kontrol Etme

Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Kenar uzunluklarımız $15$, $|PS|$ ve $|PR|$ olsun.

• $|RS| + |PS| > |PR| \Rightarrow 15 + |PS| > |PR|$
• $|RS| + |PR| > |PS| \Rightarrow 15 + |PR| > |PS|$
• $|PS| + |PR| > |RS| \Rightarrow |PS| + |PR| > 15$

Aday değerlerimiz olan $|PR|=13$ ve $|PS|=14$ için bu eşitsizlikleri kontrol edelim:

• $15 + 14 > 13 \Rightarrow 29 > 13$ (Doğru)
• $15 + 13 > 14 \Rightarrow 28 > 14$ (Doğru)
• $14 + 13 > 15 \Rightarrow 27 > 15$ (Doğru)

Adım 4: Çeşitkenar Üçgen Koşulunu Kontrol Etme

Üçgenin çeşitkenar olması, tüm kenar uzunluklarının farklı olması demektir. Kenar uzunluklarımız $15$, $14$ ve $13$ cm'dir. Bu üç değer de birbirinden farklı olduğu için çeşitkenar üçgen koşulu sağlanır.

Tüm koşullar ($15 > 14 > 13$ sıralaması, üçgen eşitsizlikleri, çeşitkenar olma ve tam sayı olma) sağlandığına göre, $|PR|$ kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri $13$ cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.