Verilen DEF üçgeninde kenar uzunlukları ve açılar arasındaki ilişkiyi kullanarak |EF|'nin alabileceği tam sayı değerlerini bulacağız.

• 1. Açı-Kenar İlişkisini Kullanma:

Bir üçgende, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur. Soruda verilen açı sıralaması:

$$m(\hat{D}) > m(\hat{F}) > m(\hat{E})$$

Bu durumda, bu açıların karşısındaki kenarların uzunlukları da aynı sıralamayı takip eder:

• $\hat{D}$ açısının karşısındaki kenar |EF|
• $\hat{F}$ açısının karşısındaki kenar |DE|
• $\hat{E}$ açısının karşısındaki kenar |DF|

Buna göre kenar uzunlukları arasındaki ilişki:

$$|EF| > |DE| > |DF|$$

Verilen kenar uzunluklarını yerine yazarsak:

$$|EF| > 6 \text{ cm} > 4 \text{ cm}$$

Buradan ilk eşitsizliği elde ederiz: $$|EF| > 6$$

• 2. Üçgen Eşitsizliğini Kullanma:

Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyük, farkının mutlak değeri ise üçüncü kenarın uzunluğundan küçüktür.

$$| |DE| - |DF| | < |EF| < |DE| + |DF|$$

Verilen kenar uzunluklarını yerine yazarsak:

$$| 6 - 4 | < |EF| < 6 + 4$$

$$2 < |EF| < 10$$

• 3. Eşitsizlikleri Birleştirme:

Elde ettiğimiz iki eşitsizliği birleştirelim:

1. $$|EF| > 6$$

2. $$2 < |EF| < 10$$

Bu iki eşitsizliği birleştirdiğimizde, |EF| hem 6'dan büyük hem de 10'dan küçük olmalıdır:

$$6 < |EF| < 10$$

• 4. Tam Sayı Değerlerini Bulma:

|EF|'nin alabileceği tam sayı değerleri 6 ile 10 arasında olmalıdır. Bu değerler:

$$7, 8, 9$$

Bu aralıkta 3 farklı tam sayı değeri vardır.

Cevap B seçeneğidir.