Verilen soruda, dört farklı üçgenin AC kenar uzunluklarını karşılaştırmamız istenmektedir. Üçgenlerin tabanları (BC kenarı) bir cetvel üzerine yerleştirilmiştir. Cetvelin eş bölmeli olması, taban uzunluklarını birim cinsinden ifade etmemizi sağlar. Her bir cetvel biriminin uzunluğunu $x$ olarak kabul edelim.
Bir üçgende kenar uzunluklarını bulmak için Sinüs Teoremi'ni kullanabiliriz. Sinüs Teoremi'ne göre, bir üçgenin kenarları karşılarındaki açıların sinüsleri ile orantılıdır: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Biz AC kenarının ($b$) uzunluğunu arıyoruz. Bu durumda, $AC = BC \cdot \frac{\sin B}{\sin A}$ formülünü kullanacağız.
Her bir üçgen için adım adım AC uzunluğunu hesaplayalım:
- 1. Üçgen:
- Verilen açılar: $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 45^\circ$.
- $\angle C = 180^\circ - (50^\circ + 45^\circ) = 85^\circ$.
- Cetveldeki taban uzunluğu $BC_1 = 4x$.
- $AC_1 = 4x \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 4x \cdot \frac{0.707}{0.766} \approx 3.692x$.
- 2. Üçgen:
- Verilen açılar: $\angle B = 40^\circ$, $\angle C = 90^\circ$.
- $\angle A = 180^\circ - (40^\circ + 90^\circ) = 50^\circ$.
- Cetveldeki taban uzunluğu $BC_2 = 3x$.
- $AC_2 = 3x \cdot \frac{\sin 40^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 3x \cdot \frac{0.643}{0.766} \approx 2.517x$.
- 3. Üçgen:
- Verilen açılar: $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 100^\circ$.
- $\angle A = 180^\circ - (30^\circ + 100^\circ) = 50^\circ$.
- Cetveldeki taban uzunluğu $BC_3 = 3x$.
- $AC_3 = 3x \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 3x \cdot \frac{0.5}{0.766} \approx 1.959x$.
- 4. Üçgen:
- Verilen açılar: $\angle B = 80^\circ$, $\angle C = 50^\circ$.
- $\angle A = 180^\circ - (80^\circ + 50^\circ) = 50^\circ$.
- Cetveldeki taban uzunluğu $BC_4 = 3x$.
- $AC_4 = 3x \cdot \frac{\sin 80^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 3x \cdot \frac{0.985}{0.766} \approx 3.858x$.
Hesapladığımız AC uzunluklarını karşılaştıralım:
- $AC_1 \approx 3.692x$
- $AC_2 \approx 2.517x$
- $AC_3 \approx 1.959x$
- $AC_4 \approx 3.858x$
Bu değerler arasında en büyük olan $AC_4$'tür. Dolayısıyla, 4 numaralı üçgene ait AC kenarının uzunluğu diğerlerinden fazladır.
Cevap D seçeneğidir.