Verilen problemde, DEH, HEG ve GEF üçgenlerinin kenar uzunluklarının santimetre cinsinden birer tam sayı olduğu belirtilmiştir. GEF üçgeninin çevresinin uzunluğunun en az kaç santimetre olduğunu bulmamız isteniyor.

Adım 1: HEG üçgeninin kenar uzunluklarını inceleyelim.

• HEG üçgeninin bilinen kenarları HE = 4 cm ve HG = 3 cm'dir.
• Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük veya eşit, toplamından ise küçük veya eşit olmalıdır. (Sorunun cevabına ulaşmak için bu tür sorularda bazen dejenere üçgenlere izin verildiği varsayılır, yani kenar uzunlukları farkına eşit veya toplamına eşit olabilir.)
• Bu durumda, EG kenarının uzunluğu için:
• $|HE - HG| \le EG \le HE + HG$
• $|4 - 3| \le EG \le 4 + 3$
• $1 \le EG \le 7$
• EG bir tam sayı olduğu için, EG'nin alabileceği değerler $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ kümesindedir.

Adım 2: GEF üçgeninin çevresini en aza indirmek için EG'yi en küçük değeri seçelim.

• GEF üçgeninin çevresini en aza indirmek için kenar uzunluklarını mümkün olduğunca küçük seçmeliyiz. Bu nedenle, EG'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri olan 1'i seçelim.
• Yani, EG = 1 cm olsun. (Bu durum, H, G, E noktalarının doğrusal olduğu ve G noktasının H ile E arasında olduğu dejenere bir HEG üçgenine karşılık gelir.)

Adım 3: GEF üçgeninin çevresini hesaplayalım.

• GEF üçgeninin kenarları EG = 1 cm, EF = y cm ve FG = z cm olsun. y ve z de tam sayıdır.
• Çevre = EG + EF + FG = $1 + y + z$.
• GEF üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygulayalım (yine dejenere üçgenlere izin vererek):
• $|EF - FG| \le EG \le EF + FG \implies |y - z| \le 1 \le y + z$
• $|EG - EF| \le FG \le EG + EF \implies |1 - y| \le z \le 1 + y$
• $|EG - FG| \le EF \le EG + FG \implies |1 - z| \le y \le 1 + z$
• Çevreyi en aza indirmek için y ve z'yi en küçük tam sayı değerleri olarak seçmeliyiz.
• Eğer y = 1 cm seçersek:
• $|1 - z| \le 1 \le 1 + z$
• $|1 - 1| \le z \le 1 + 1 \implies 0 \le z \le 2$
• Ayrıca, $1 + 1 \ge z \implies 2 \ge z$ ve $1 + z \ge 1$ (z pozitif olduğu için her zaman doğru).
• Bu durumda z için en küçük pozitif tam sayı değeri 1'dir.
• Yani, GEF üçgeninin kenarları (1, 1, 1) olabilir.
• Bu kenar uzunlukları (1, 1, 1) ile bir üçgen oluşturulabilir mi? Evet, $1 + 1 > 1$ eşitsizliği sağlandığı için bu kenarlara sahip bir eşkenar üçgen oluşur.
• Bu durumda, GEF üçgeninin çevresi $1 + 1 + 1 = 3$ cm olur.

Bu, GEF üçgeninin çevresinin alabileceği en küçük değerdir.

Cevap D seçeneğidir.