Verilen problemde, bir dörtgenin köşegen uzunluğu olan 'x'in alabileceği doğal sayı değerlerinin toplamı istenmektedir. Bu tür sorularda üçgen eşitsizliği kuralı uygulanır.

• 1. Üçgen ABC için üçgen eşitsizliği uygulayalım:

Kenar uzunlukları 7 cm, 5 cm ve x cm olan ABC üçgeninde:

$$|7 - 5| < x < 7 + 5$$

$$2 < x < 12 \quad \text{(Eşitsizlik 1)}$$

• 2. Üçgen BCD için üçgen eşitsizliği uygulayalım:

Kenar uzunlukları 9 cm, 6 cm ve x cm olan BCD üçgeninde:

$$|9 - 6| < x < 9 + 6$$

$$3 < x < 15 \quad \text{(Eşitsizlik 2)}$$

• 3. Her iki eşitsizliği birleştirelim:

x'in her iki üçgen için de geçerli olması gerektiğinden, her iki eşitsizliğin ortak çözüm kümesini bulmalıyız. Alt sınırlar için en büyük değeri, üst sınırlar için en küçük değeri alırız:

$$\max(2, 3) < x < \min(12, 15)$$

$$3 < x < 12$$

• 4. x'in alabileceği doğal sayı değerlerini bulalım:

x bir doğal sayı olduğuna göre, 3'ten büyük ve 12'den küçük tam sayılar olmalıdır.

$$x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$$

• 5. Bu değerlerin toplamını hesaplayalım:

Bu değerlerin toplamı:

$$4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11$$

Bu bir aritmetik dizidir. Terim sayısı $11 - 4 + 1 = 8$'dir. Toplam formülü $\frac{\text{terim sayısı}}{2} \times (\text{ilk terim} + \text{son terim})$ kullanılarak:

$$\text{Toplam} = \frac{8}{2} \times (4 + 11)$$

$$\text{Toplam} = 4 \times 15$$

$$\text{Toplam} = 60$$

Cevap A seçeneğidir.