Üçgenin kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ olsun. Soruda verilen bilgilere göre:

• Kenar uzunlukları tam sayıdır: $a, b, c \in \mathbb{Z}^+$
• Çevre uzunluğu 13 cm'dir: $a + b + c = 13$

Üçgen eşitsizliğine göre, herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır:

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

Bizden bir kenar uzunluğunun en az kaç olabileceği isteniyor. Bir kenarı, örneğin $a$'yı minimum yapmak için, diğer iki kenar $b$ ve $c$'yi mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz.

Üçgen eşitsizliklerinden birini kullanalım: $b + c > a$.

Çevre bilgisini kullanarak $b + c$ yerine $13 - a$ yazabiliriz:

$13 - a > a$

$13 > 2a$

$a < \frac{13}{2}$

$a < 6.5$

Bu eşitsizlik, üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğunun 6.5 cm'den küçük olması gerektiğini gösterir. Kenar uzunlukları tam sayı olduğu için, bir kenar en fazla 6 cm olabilir.

Şimdi, bir kenarın alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmaya çalışalım. Kenar uzunlukları pozitif tam sayı olduğundan, en küçük olası değer 1'dir. Bakalım 1 cm'lik bir kenar uzunluğuna sahip bir üçgen oluşturabilir miyiz.

Eğer bir kenar $a = 1$ cm olursa:

• $a + b + c = 13 \Rightarrow 1 + b + c = 13 \Rightarrow b + c = 12$

Şimdi $b$ ve $c$ için uygun tam sayı değerleri bulmalıyız. Ayrıca $b < 6.5$ ve $c < 6.5$ koşulları da sağlanmalıdır.

$b + c = 12$ ve $b, c < 6.5$ koşullarını sağlayan tam sayı çiftleri arayalım. Eğer $b=6$ seçersek, $c=12-6=6$ olur. Bu durumda $b=6$ ve $c=6$ her ikisi de 6.5'ten küçüktür.

Şimdi kenar uzunlukları $(1, 6, 6)$ olan bir üçgenin üçgen eşitsizliklerini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

• $1 + 6 > 6 \Rightarrow 7 > 6$ (Doğru)
• $6 + 6 > 1 \Rightarrow 12 > 1$ (Doğru)

Tüm koşullar sağlanmaktadır. Dolayısıyla, kenar uzunlukları 1 cm, 6 cm ve 6 cm olan bir üçgen oluşturulabilir. Bu durumda bir kenar uzunluğu 1 cm olabilir.

Kenar uzunlukları pozitif tam sayı olmak zorunda olduğu için, 1 cm bir kenarın alabileceği en küçük değerdir.

Cevap D seçeneğidir.