Verilen soruda, noktalı kağıtta çizilmiş bir PAT üçgeni ile ilgili üç ifadeyi değerlendirmemiz istenmektedir. Üçgenin köşelerinin koordinatlarını belirleyerek işe başlayalım. Her bir noktanın bir birim aralıkla yerleştirildiğini varsayalım.

• A noktasını (0,0) olarak alalım.
• T noktası (6,0) olur. (A'dan 6 birim sağda)
• P noktası (3,4) olur. (A'dan 3 birim sağda, 4 birim yukarıda)

Şimdi üçgenin kenar uzunluklarını hesaplayalım:

• \(|AT| = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{6^2} = 6\) birim.
• \(|AP| = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) birim.
• \(|PT| = \sqrt{(6-3)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) birim.

Kenar uzunlukları \(|AP| = |PT| = 5\) birim ve \(|AT| = 6\) birim olduğundan, PAT üçgeni bir ikizkenar üçgendir. P açısı, eşit kenarlar arasındaki tepe açısıdır.

Şimdi verilen ifadeleri tek tek inceleyelim:

I. P açısından çizilen açıortay aynı zamanda kenarortaydır.

• İkizkenar üçgenlerde, tepe açısından (eşit kenarlar arasındaki açıdan) çizilen açıortay, aynı zamanda tabana ait kenarortay, yükseklik ve dikme görevi görür.
• PAT üçgeninde P açısı tepe açısıdır (çünkü AP = PT). Dolayısıyla, P açısından çizilen açıortay, AT tabanına ait kenarortaydır.
• Bu ifade DOĞRUDUR.

II. Açıortayları iç bölgesinde kesişir.

• Bir üçgenin iç açıortayları her zaman üçgenin içinde bir noktada kesişir. Bu noktaya iç teğet çemberin merkezi denir.
• Bu, üçgenlerin temel bir özelliğidir.
• Bu ifade DOĞRUDUR.

III. Yükseklikleri dış bölgesinde kesişir.

• Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasına diklik merkezi (ortosantr) denir. Diklik merkezinin konumu üçgenin türüne göre değişir:
  • Dar açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin içindedir.
  • Dik açılı üçgenlerde diklik merkezi dik açının olduğu köşededir.
  • Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin dışındadır.
• PAT üçgeninin açılarını kontrol edelim. Kenar uzunlukları 5, 5, 6'dır. Kosinüs teoremini kullanarak açıları bulabiliriz:
  • P açısı için: \(6^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(P) \Rightarrow 36 = 50 - 50 \cos(P) \Rightarrow 50 \cos(P) = 14 \Rightarrow \cos(P) = 14/50 = 7/25\). \(\cos(P) > 0\) olduğundan P açısı dar açıdır.
  • A açısı (ve T açısı) için: \(5^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(A) \Rightarrow 25 = 25 + 36 - 60 \cos(A) \Rightarrow 0 = 36 - 60 \cos(A) \Rightarrow 60 \cos(A) = 36 \Rightarrow \cos(A) = 36/60 = 3/5\). \(\cos(A) > 0\) olduğundan A açısı dar açıdır.
• Tüm açıları dar açı olduğundan, PAT üçgeni bir dar açılı üçgendir.
• Dar açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin iç bölgesinde yer alır.
• Bu ifade YANLIŞTIR.

Sonuç olarak, I ve II numaralı ifadeler doğru, III numaralı ifade yanlıştır.

Cevap C seçeneğidir.