Soruyu adım adım çözelim:

• Verilen Bilgileri Denklem Haline Getirme:

  Kenar uzunlukları $a$ cm ve $b$ cm olan iki karenin alanları toplamı $53 \text{ cm}^2$ ise:

  $$a^2 + b^2 = 53 \quad (Denklem \ 1)$$

  Çevre uzunlukları toplamı $36 \text{ cm}$ ise:

  $$4a + 4b = 36$$

  Bu denklemi sadeleştirirsek:

  $$4(a+b) = 36$$

  $$a+b = 9 \quad (Denklem \ 2)$$

• $(a-b)^2$ İfadesini Bulma:

  İki sayının toplamını ve kareleri toplamını bildiğimizde, farklarının karesini bulmak için özdeşlikleri kullanabiliriz. Öncelikle $ab$ çarpımını bulalım:

  $$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$

  Denklem 1 ve Denklem 2'deki değerleri yerine koyalım:

  $$9^2 = 53 + 2ab$$

  $$81 = 53 + 2ab$$

  $$2ab = 81 - 53$$

  $$2ab = 28$$

  Şimdi $(a-b)^2$ ifadesini bulalım:

  $$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$$

  Değerleri yerine koyalım:

  $$(a-b)^2 = 53 - 28$$

  $$(a-b)^2 = 25$$

• $a-b$ Değerini Bulma:

  $$(a-b)^2 = 25$$

  Her iki tarafın karekökünü alırsak:

  $$a-b = \pm\sqrt{25}$$

  $$a-b = \pm 5$$

  Karenin kenar uzunlukları pozitif olduğu için $a-b$ farkı $5$ veya $-5$ olabilir. Soruda çevre uzunlukları farkı istendiği için pozitif değeri alacağız.

• Çevre Uzunlukları Farkını Hesaplama:

  İki karenin çevre uzunlukları farkı $4a - 4b$ veya $4b - 4a$ olacaktır. Bu ifadeyi $4(a-b)$ olarak yazabiliriz.

  $$4(a-b) = 4 \times 5$$

  $$4(a-b) = 20 \text{ cm}$$

Cevap C seçeneğidir.