🎓 9. Sınıf Periyodik Durumlar Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, "Periyodik Durumlar" konusunu temelden ele alarak, öğrencilerin tekrar eden olayları ve modüler aritmetik prensiplerini anlamalarına yardımcı olmayı amaçlamaktadır. Testteki soruların genel yapısı, zaman, takvim, nöbet, sayı dizileri gibi günlük hayattan örnekler üzerinden modüler aritmetik uygulamalarını kapsamaktadır.

1. Periyodik Durumlar ve Modüler Aritmetik Nedir? 🔄

• Periyodik Durumlar: Belirli bir düzen içinde, aynı aralıklarla veya aynı sırayla tekrar eden olaylara periyodik durumlar denir. Bu tekrarın tamamlandığı en küçük birime "periyot" veya "döngü" adı verilir.
• Modüler Aritmetik: Sayıların belirli bir sayıya (modül) bölümünden kalanları inceleyen matematik dalıdır. Günlük hayattaki periyodik olayları (saat, gün, ay gibi) modellemek için kullanılır.
• Gösterim: Bir A sayısının M ile bölümünden kalan K ise, bu durum $A \equiv K \pmod{M}$ şeklinde gösterilir. Örneğin, 10'un 3'e bölümünden kalan 1 olduğu için $10 \equiv 1 \pmod{3}$ yazılır.
• Örnek: Haftanın günleri 7 günde bir tekrar eder. Bu bir periyodik durumdur ve periyodu 7'dir. Saatler 12 (analog) veya 24 (dijital) saatte bir tekrar eder.

2. Modüler Aritmetiğin Temel Uygulamaları 🚀

2.1. Saat Problemleri ⏰

• Analog saatler 12 saatlik bir döngüye sahiptir (Modül 12). Dijital saatler ise 24 saatlik bir döngüye sahiptir (Modül 24).
• Bir olayın belirli bir saatten sonra hangi saate denk geleceğini bulmak için, geçen süreyi modül 12 veya modül 24'e göre hesaplarız.
• İpucu: Eğer saat 12'den büyükse, 12'ye bölümünden kalanı alarak analog saati buluruz. Örneğin, 15:00 = 3:00. Eğer dijital saat soruluyorsa 24'e göre işlem yapılır.
• Örnek: Saat 10:00'da başlayan 19 saatlik bir yolculuk.
  • Geçen süre: 19 saat.
  • $19 \pmod{24}$ veya $19 \pmod{12}$ (analog saat için).
  • $19 \equiv 19 \pmod{24}$.
  • $19 \equiv 7 \pmod{12}$.
  • Başlangıç saati 10:00. $10 + 19 = 29$.
  • $29 \pmod{24} = 5$. Yani 05:00. (Eğer analog saat soruluyorsa $29 \pmod{12} = 5$ olurdu, yine 5:00 olurdu ama bu bir tesadüf).

2.2. Gün Problemleri 🗓️

• Haftanın günleri 7 günde bir tekrar eder (Modül 7).
• Bir günden belirli bir süre sonraki veya önceki günü bulmak için, geçen gün sayısını 7'ye böleriz ve kalanı başlangıç gününe ekleriz veya çıkarırız.
• Günleri Sayma: Pazartesi (0), Salı (1), Çarşamba (2), Perşembe (3), Cuma (4), Cumartesi (5), Pazar (6) şeklinde numaralandırmak işlemleri kolaylaştırabilir.
• İleriye Gitme: Kalanı başlangıç gününe ekle.
• Geriye Gitme: Kalanı başlangıç gününden çıkar. Eğer sonuç negatif çıkarsa, 7 ekleyerek pozitif bir değer elde et. Örneğin, Salı - 3 gün = -2 $\equiv 5 \pmod{7}$ (Cumartesi).
• Örnek (İleri): Bugün Perşembe, 176 gün sonra hangi gün?
  • $176 \pmod{7}$
  • $176 = 25 \times 7 + 1$
  • Kalan 1. Perşembe + 1 gün = Cuma.
• Örnek (Geri): Bugün Cumartesi, 258 gün önce hangi gün?
  • $258 \pmod{7}$
  • $258 = 36 \times 7 + 6$
  • Kalan 6. Cumartesi - 6 gün = Pazar. (Cumartesi (5) - 6 = -1 $\equiv 6 \pmod{7}$ (Pazar))
• Bir Yıldaki Gün Sayısı: Normal bir yıl 365 gündür. $365 \pmod{7} = 1$. Yani bir yıl 52 hafta ve 1 gün demektir. Bu ekstra 1 gün, yılın başlangıç gününün bir sonraki yılın başlangıç günü olmasını sağlar ve o günün o yıl içinde 53 kez görülmesine neden olabilir. Artık yıllar 366 gündür ve $366 \pmod{7} = 2$ kalanı verir.

2.3. Ay Problemleri 📅

• Yılın ayları 12 ayda bir tekrar eder (Modül 12).
• Bir aydan belirli bir süre sonraki veya önceki ayı bulmak için, geçen ay sayısını 12'ye böleriz ve kalanı başlangıç ayına ekleriz veya çıkarırız.
• Ayları Sayma: Ocak (1), Şubat (2), ..., Aralık (12) şeklinde numaralandırılabilir veya Ocak (0), Şubat (1), ..., Aralık (11) şeklinde de düşünülebilir. Önemli olan tutarlı olmaktır.
• Örnek: Mart ayında başlayan bir iş 82 ay sonra bitecek. Hangi ay biter?
  • $82 \pmod{12}$
  • $82 = 6 \times 12 + 10$
  • Kalan 10. Mart ayından sonra 10 ay sayarsak: Nisan (1), Mayıs (2), Haziran (3), Temmuz (4), Ağustos (5), Eylül (6), Ekim (7), Kasım (8), Aralık (9), Ocak (10).
  • Cevap Ocak.

2.4. Tekrar Eden Sayı Dizileri/Rakamlar 🔢

• Belirli bir düzende tekrar eden rakam veya harf dizilerinde, istenen sıradaki elemanı bulmak için dizinin tekrar eden bloğunun uzunluğunu modül olarak kullanırız.
• Adımlar:
  1. Tekrar eden bloğu ve bu bloğun uzunluğunu (periyodu) belirle.
  2. İstenen sıradaki eleman numarasını periyoda böl.
  3. Kalanı kullanarak elemanı bul. Eğer kalan 0 ise, bu periyodun son elemanıdır.
• Örnek: 2468024680... sayı dizisinde soldan 78. rakam kaçtır?
  • Tekrar eden blok: "24680". Bloğun uzunluğu (periyot): 5.
  • $78 \pmod{5}$
  • $78 = 15 \times 5 + 3$
  • Kalan 3. Bloğun 3. rakamı "6"dır. (2 (1.), 4 (2.), 6 (3.), 8 (4.), 0 (5.))

3. Birden Fazla Periyodik Olayın Birlikte Gerçekleşmesi 🤝

• İki veya daha fazla olayın aynı anda ne zaman tekrar edeceğini bulmak için, olayların periyotlarının En Küçük Ortak Katı'nı (EKOK) hesaplarız.
• EKOK, olayların ilk kez birlikte gerçekleştikten sonra ne kadar süre sonra tekrar birlikte gerçekleşeceklerini gösterir.
• Adımlar:
  1. Her bir olayın periyodunu belirle.
  2. Bu periyotların EKOK'unu bul.
  3. EKOK değerini kullanarak modüler aritmetik ile istenen günü/saati/ayı bul.
• Örnek: Bir hemşire 2 günde bir, bir doktor 5 günde bir nöbet tutuyor. İkisi birlikte ilk nöbetlerini Çarşamba günü tuttuklarına göre, 9. kez birlikte hangi gün nöbet tutarlar?
  • Hemşire periyodu: 2 gün. Doktor periyodu: 5 gün.
  • EKOK(2, 5) = 10 gün. Yani her 10 günde bir birlikte nöbet tutarlar.
  • 9. kez birlikte nöbet tutmaları için geçen periyot sayısı: $9 - 1 = 8$ periyot.
  • Toplam geçen gün sayısı: $8 \times 10 = 80$ gün.
  • $80 \pmod{7}$
  • $80 = 11 \times 7 + 3$
  • Kalan 3. Çarşamba + 3 gün = Cumartesi.

4. N. Kez Gerçekleşen Olaylar 🚀

• Bir olayın ilk kez gerçekleştiği gün/saat/ay biliniyorsa ve N. kez gerçekleştiği gün/saat/ay soruluyorsa, geçen periyot sayısı $(N-1)$ olur.
• Eğer N. olaydan önceki M. olayın günü soruluyorsa, aradaki periyot sayısı $(N-M)$ olur ve bu geriye doğru sayılır.
• Adımlar:
  1. Olayın periyodunu belirle.
  2. İstenen olay ile bilinen olay arasındaki periyot farkını bul. (Örn: N. olay için (N-1), M. olaydan N. olaya geçiş için (N-M)).
  3. Bu farkı periyot ile çarpıp, modüler aritmetik uygula.
• Örnek (İleri): Bir asker 6 günde bir nöbet tutuyor. İlk nöbetini Salı günü tuttuğuna göre, 53. nöbetini hangi gün tutar?
  • Periyot: 6 gün.
  • Geçen periyot sayısı: $53 - 1 = 52$.
  • Toplam geçen gün sayısı: $52 \times 6 = 312$ gün.
  • $312 \pmod{7}$
  • $312 = 44 \times 7 + 4$
  • Kalan 4. Salı + 4 gün = Cumartesi.
• Örnek (Geri): Bir asker 12 günde bir nöbet tutuyor. 17. nöbetini Pazar günü tuttuğuna göre, 5. nöbetini hangi gün tutmuştur?
  • Periyot: 12 gün.
  • Geriye gidilecek periyot sayısı: $17 - 5 = 12$.
  • Toplam geriye gidilecek gün sayısı: $12 \times 12 = 144$ gün.
  • $144 \pmod{7}$
  • $144 = 20 \times 7 + 4$
  • Kalan 4. Pazar - 4 gün = Çarşamba.

💡 Genel İpuçları ve Dikkat Edilmesi Gerekenler ⚠️

• Modülü Doğru Belirle: Saat için 12 veya 24, günler için 7, aylar için 12. Sayı dizileri için tekrar eden bloğun uzunluğu.
• Kalanı Yorumla: Modüler aritmetikte kalan 0 ise, bu genellikle periyodun son elemanına denk gelir. Örneğin, $7 \pmod{7} = 0$ ama haftanın 7. günü Pazar'dır. Bu yüzden kalan 0 ise modülün kendisi gibi düşünmek (örneğin 7. gün) veya numaralandırmayı 0'dan başlatmak (Pazartesi=0, Pazar=6) karışıklığı önler.
• İleri mi, Geri mi?: Soruda "sonra" mı "önce" mi geçtiğine dikkat et. Kalanı ekleyecek misin, çıkaracak mısın?
• EKOK Kullanımı: Birden fazla olayın birlikte gerçekleşme problemlerinde mutlaka EKOK kullanmayı unutma.
• (N-1) Kuralı: "N. kez gerçekleşen olay" sorularında, ilk olaydan sonraki geçen periyot sayısının genellikle $(N-1)$ olduğunu hatırla.
• Sıfırdan Başlama: Günleri veya ayları numaralandırırken (örneğin Pazartesi=0) tutarlı ol. Eğer 1'den başlatıyorsan (Pazartesi=1), kalan 0 olduğunda modülün kendisini (örneğin 7. gün) temsil ettiğini unutma.