Sorunun Çözümü
- Verilen ifadeyi basitleştirmek için öncelikle paydadaki köklü ifadeyi düzenleyelim:
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}$
Böylece payda $-7\sqrt{2}$ olur. - İfade $\frac{A + 3\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}}$ şeklini alır.
- Bu ifadenin sonucunun rasyonel bir sayı olması için, paydaki $\sqrt{2}$'li terimin paydadaki $\sqrt{2}$ ile sadeleşmesi gerekmektedir. Bu da $A + 3\sqrt{2}$ ifadesinin $k\sqrt{2}$ şeklinde (k bir rasyonel sayı olmak üzere) olması gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla $A$ da $m\sqrt{2}$ şeklinde (m bir rasyonel sayı olmak üzere) olmalıdır.
- Seçenekleri inceleyelim:
- A) $-2\sqrt{50}$:
$-2\sqrt{50} = -2\sqrt{25 \times 2} = -2 \times 5\sqrt{2} = -10\sqrt{2}$
$A = -10\sqrt{2}$ değerini ifadede yerine yazarsak:
$\frac{-10\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}} = \frac{(-10+3)\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}} = \frac{-7\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}} = 1$
1 bir rasyonel sayıdır. Bu seçenek doğrudur. - B) $-\sqrt{16} = -4$:
$\frac{-4 + 3\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}}$ ifadesi rasyonel değildir. - C) $\sqrt{30}$:
$\frac{\sqrt{30} + 3\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}}$ ifadesi rasyonel değildir. - D) $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$:
$\frac{4\sqrt{5} + 3\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}}$ ifadesi rasyonel değildir.
- A) $-2\sqrt{50}$:
- Doğru Seçenek A'dır.