Sorunun Çözümü
- İfadenin pozitif bir rasyonel sayı olması için, karekök içindeki $72 - 2a$ ifadesi pozitif bir tam kare olmalıdır. Yani $72 - 2a = k^2$ olmalı ve $k$ pozitif bir tam sayı olmalıdır ($k \in \mathbb{Z}^+$).
- Ayrıca, $a$ bir doğal sayı olmalıdır. Bu durumda $a \ge 0$ ve karekök içindeki ifade negatif olamayacağından $72 - 2a \ge 0 \implies 2a \le 72 \implies a \le 36$ olmalıdır.
- $72 - 2a = k^2$ eşitliğinden $2a = 72 - k^2$ ve $a = \frac{72 - k^2}{2}$ elde edilir.
- $a$'nın bir doğal sayı olması için $72 - k^2$ ifadesinin çift ve pozitif olması gerekir. Bu da $k^2$'nin çift olmasını gerektirir.
- $k^2$ için $72$'den küçük veya eşit olan pozitif tam kareleri inceleyelim: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64$.
- Bu değerlerden çift olanları seçerek $a$ değerlerini bulalım:
- $k^2 = 4 \implies a = \frac{72 - 4}{2} = \frac{68}{2} = 34$. ($34 \in \mathbb{N}$ ve $0 \le 34 \le 36$)
- $k^2 = 16 \implies a = \frac{72 - 16}{2} = \frac{56}{2} = 28$. ($28 \in \mathbb{N}$ ve $0 \le 28 \le 36$)
- $k^2 = 36 \implies a = \frac{72 - 36}{2} = \frac{36}{2} = 18$. ($18 \in \mathbb{N}$ ve $0 \le 18 \le 36$)
- $k^2 = 64 \implies a = \frac{72 - 64}{2} = \frac{8}{2} = 4$. ($4 \in \mathbb{N}$ ve $0 \le 4 \le 36$)
- Tek tam kareler ($1, 9, 25, 49$) için $72 - k^2$ tek olacağından $a$ tam sayı olmaz.
- Buna göre, $a$ yerine yazılabilecek farklı doğal sayılar $34, 28, 18, 4$'tür. Toplamda 4 farklı değer vardır.
- Doğru Seçenek B'dır.