Verilen denklemi çözmek için her bir kareköklü ifadeyi en sade haline getirelim:

• Adım 1: Kareköklü ifadeleri sadeleştirme
• $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
• $\sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = \sqrt{144} \times \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$
• $\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
• Adım 2: Sadeleştirilmiş ifadeleri denklemde yerine koyma

Denklem şu hale gelir:

$4\sqrt{3} + 12\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = a\sqrt{2} + b\sqrt{3}$

• Adım 3: Benzer terimleri birleştirme

Sol taraftaki benzer terimleri toplayalım:

$4\sqrt{3} + (12\sqrt{2} + 8\sqrt{2}) = a\sqrt{2} + b\sqrt{3}$

$4\sqrt{3} + 20\sqrt{2} = a\sqrt{2} + b\sqrt{3}$

• Adım 4: a ve b değerlerini bulma

Denklemin her iki tarafındaki $\sqrt{2}$ ve $\sqrt{3}$'lü terimlerin katsayılarını eşitleyelim:

• $\sqrt{2}$'nin katsayıları: $a = 20$
• $\sqrt{3}$'ün katsayıları: $b = 4$
• Adım 5: İstenen ifadeyi hesaplama

Soruda $\sqrt{a \cdot b}$ değeri sorulmaktadır. a ve b değerlerini yerine koyalım:

$a \cdot b = 20 \cdot 4 = 80$

Şimdi karekökünü alalım:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{80}$

$\sqrt{80}$ ifadesini sadeleştirelim:

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

Cevap C seçeneğidir.