Sorunun Çözümü
- Verilen denklemleri $A$ cinsinden düzenleyelim:
- $A = 5a - 1 \implies A + 1 = 5a$. Yani $A+1$, $5$'in katıdır. Bu durumda $A \equiv 4 \pmod{5}$.
- $A = 6b + 3 \implies A - 3 = 6b$. Yani $A-3$, $6$'nın katıdır. Bu durumda $A \equiv 3 \pmod{6}$.
- $A = 8c - 5 \implies A + 5 = 8c$. Yani $A+5$, $8$'in katıdır. Bu durumda $A \equiv 3 \pmod{8}$.
- $A \equiv 3 \pmod{6}$ ve $A \equiv 3 \pmod{8}$ olduğundan, $A-3$ hem $6$'nın hem de $8$'in katıdır.
- $EKOK(6, 8) = 24$'tür. Dolayısıyla $A-3$, $24$'ün bir katıdır. Yani $A-3 = 24k$ veya $A = 24k + 3$.
- Şimdi $A \equiv 4 \pmod{5}$ koşulunu kullanalım:
- $24k + 3 \equiv 4 \pmod{5}$
- $4k + 3 \equiv 4 \pmod{5}$
- $4k \equiv 1 \pmod{5}$
- $4k \equiv 1+5 \pmod{5} \implies 4k \equiv 6 \pmod{5}$ (veya $4k \equiv 1+10 \pmod{5} \implies 4k \equiv 11 \pmod{5}$ vb.)
- $4k \equiv 1 \pmod{5}$ denklemini çözmek için her iki tarafı $4$ ile çarpalım (çünkü $4 \times 4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$):
- $16k \equiv 4 \pmod{5} \implies k \equiv 4 \pmod{5}$.
- Yani $k = 5m + 4$ şeklinde yazılabilir.
- $A = 24k + 3$ ifadesinde $k$ yerine $5m+4$ yazalım:
- $A = 24(5m + 4) + 3$
- $A = 120m + 96 + 3$
- $A = 120m + 99$.
- Verilen $A < 378$ koşulunu uygulayalım:
- $120m + 99 < 378$
- $120m < 378 - 99$
- $120m < 279$
- $m < \frac{279}{120}$
- $m < 2.325$.
- $a, b, c \in N^+$ olduğundan $A$ pozitif olmalıdır. $m$ bir tam sayı olduğundan, $m$'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri $2$'dir.
- $m=2$ için $A$'nın en büyük değerini bulalım:
- $A = 120(2) + 99 = 240 + 99 = 339$.
- Bu değer için $a, b, c$ pozitif tam sayılar çıkar: $339 = 5a-1 \implies 5a=340 \implies a=68$; $339 = 6b+3 \implies 6b=336 \implies b=56$; $339 = 8c-5 \implies 8c=344 \implies c=43$.
- Doğru Seçenek C'dır.