Sorunun Çözümü
- Verilen eşitlik $A = 2x + 3 = 4y + 3 = 7z + 3$ şeklindedir. Her terimden $3$ çıkarıldığında $A - 3 = 2x = 4y = 7z$ elde edilir.
- Bu durum, $A - 3$ sayısının $2$, $4$ ve $7$'nin ortak bir katı olması gerektiğini gösterir.
- $2$, $4$ ve $7$'nin en küçük ortak katı (EKOK) $EKOK(2, 4, 7) = 28$'dir.
- Dolayısıyla $A - 3$ sayısı $28$'in katı olmalıdır. Yani $A - 3 = 28k$ ve buradan $A = 28k + 3$ olur ($k$ bir tam sayıdır).
- $x, y, z$ birer sayma sayısı (pozitif tam sayı) olduğundan $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ olmalıdır. $A = 7z + 3$ ifadesinden, $A \ge 7(1) + 3 = 10$ bulunur.
- $A$ iki basamaklı bir doğal sayı olduğu için $10 \le A \le 99$ aralığında olmalıdır.
- $A = 28k + 3$ ifadesinde $k$ değerlerini deneyelim:
- $k=1$ için $A = 28(1) + 3 = 31$. Bu değer $10 \le 31 \le 99$ koşulunu sağlar. ($x=14, y=7, z=4$ sayma sayılarıdır)
- $k=2$ için $A = 28(2) + 3 = 59$. Bu değer $10 \le 59 \le 99$ koşulunu sağlar. ($x=28, y=14, z=8$ sayma sayılarıdır)
- $k=3$ için $A = 28(3) + 3 = 87$. Bu değer $10 \le 87 \le 99$ koşulunu sağlar. ($x=42, y=21, z=12$ sayma sayılarıdır)
- $k=4$ için $A = 28(4) + 3 = 115$. Bu değer iki basamaklı değildir.
- Buna göre, eşitliği sağlayan iki basamaklı $A$ doğal sayıları $31, 59, 87$'dir. Toplamda $3$ farklı değer vardır.
- Doğru Seçenek C'dır.