Sorunun Çözümü
- EBOB ve EKOK ilişkisi: İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir. Yani, $a \cdot b = \text{EBOB}(a,b) \cdot \text{EKOK}(a,b)$.
- $a \cdot b$ değerini bulma: Verilen değerleri yerine koyarsak, $a \cdot b = 6 \cdot 300 = 1800$.
- $a$ ve $b$ sayılarını EBOB cinsinden yazma: $\text{EBOB}(a,b) = 6$ olduğundan, $a = 6k$ ve $b = 6m$ şeklinde yazabiliriz. Burada $k$ ve $m$ aralarında asal pozitif tam sayılardır ($\text{EBOB}(k,m) = 1$).
- $k \cdot m$ değerini bulma: $a \cdot b = (6k) \cdot (6m) = 36km = 1800$. Buradan $km = \frac{1800}{36} = 50$.
- Aralarında asal $k, m$ çiftlerini bulma: $km = 50$ ve $\text{EBOB}(k,m) = 1$ koşulunu sağlayan $(k,m)$ çiftleri şunlardır:
- $(1, 50)$ için $\text{EBOB}(1, 50) = 1$.
- $(2, 25)$ için $\text{EBOB}(2, 25) = 1$.
- $a+b$ toplamını minimize etme: $a+b = 6k + 6m = 6(k+m)$. Bu toplamın en küçük değeri alması için $k+m$ toplamının en küçük olması gerekir.
- $(k,m) = (1, 50)$ için $k+m = 1+50 = 51$.
- $(k,m) = (2, 25)$ için $k+m = 2+25 = 27$.
- En küçük $a+b$ değerini hesaplama: $a+b = 6 \cdot 27 = 162$.
- Doğru Seçenek A'dır.