Sorunun Çözümü
- Verilen ifadeyi basitleştirmek için her bir terimi ayrı ayrı inceleyelim. Genel olarak, $\sqrt{1-\frac{1}{n}}$ ifadesi $\sqrt{\frac{n-1}{n}}$ olarak yazılabilir.
- Bu kuralı uygulayarak ilk birkaç terimi ve son terimi yazalım:
- $\sqrt{1-\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3-1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$
- $\sqrt{1-\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4-1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}}$
- $\sqrt{1-\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{5-1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}}$
- ...
- $\sqrt{1-\frac{1}{32}} = \sqrt{\frac{32-1}{32}} = \sqrt{\frac{31}{32}}$
- Tüm bu terimleri çarptığımızda, kök içindeki ifadeleri tek bir kök altında çarpabiliriz: $\sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \frac{31}{32}}$
- Bu çarpımda, paydadaki sayılar bir sonraki kesrin payındaki sayılarla sadeleşir (teleskopik çarpım): $\sqrt{\frac{2}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdot \ldots \cdot \frac{\cancel{31}}{32}}$
- Sadeleşme sonucunda kök içinde sadece ilk kesrin payı ve son kesrin paydası kalır: $\sqrt{\frac{2}{32}}$
- Kök içindeki kesri sadeleştirelim: $\sqrt{\frac{1}{16}}$
- Son olarak karekökü alalım: $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$
- Doğru Seçenek B'dır.