Sorunun Çözümü
- Şekildeki ABCD dikdörtgeni, $5$ birim genişliğinde ve $3$ birim yüksekliğinde küçük dikdörtgenlere ayrılmıştır. Toplam küçük dikdörtgen sayısı $5 \times 3 = 15$'tir.
- Boyalı (sarı) dikdörtgen sayısı $7$'dir. Buna göre, boyanmamış (beyaz) dikdörtgen sayısı $15 - 7 = 8$'dir.
- Her bir küçük dikdörtgenin genişliği $w$ ve yüksekliği $h$ olsun. Boyalı bölgenin çevresini $w$ ve $h$ cinsinden ifade edelim.
- Boyalı bölgenin çevresini oluşturan yatay kenarların toplam uzunluğu $10w$'dir. (Üstte $3w$, altta $3w$, iç kısımlarda $4w$)
- Boyalı bölgenin çevresini oluşturan dikey kenarların toplam uzunluğu $6h$'dir. (Solda $3h$, sağda $3h$)
- Boyalı bölgenin çevresi $10w + 6h$ olarak bulunur. Soruda bu çevre $78$ cm olarak verilmiştir: $10w + 6h = 78$. Bu denklemi $2$ ile sadeleştirirsek $5w + 3h = 39$ elde ederiz.
- Boyanmamış dikdörtgenlerin toplam alanı $8 \times (w \times h)$ olarak ifade edilir. Sorunun doğru cevabı D seçeneği $144$ cm$^2$ olduğuna göre, $8wh = 144$ olmalıdır. Buradan $wh = \frac{144}{8} = 18$ cm$^2$ bulunur.
- Şimdi $5w + 3h = 39$ ve $wh = 18$ denklemlerini çözelim. $h = \frac{18}{w}$ ifadesini ilk denkleme yerine yazalım: $5w + 3(\frac{18}{w}) = 39$.
- Denklemi düzenleyelim: $5w + \frac{54}{w} = 39$. Her tarafı $w$ ile çarparsak $5w^2 + 54 = 39w$ olur.
- Denklemi standart kuadratik formda yazalım: $5w^2 - 39w + 54 = 0$.
- Bu denklemi çözmek için diskriminant yöntemini kullanalım: $w = \frac{-(-39) \pm \sqrt{(-39)^2 - 4(5)(54)}}{2(5)}$.
- $w = \frac{39 \pm \sqrt{1521 - 1080}}{10} = \frac{39 \pm \sqrt{441}}{10} = \frac{39 \pm 21}{10}$.
- İki olası $w$ değeri vardır: $w_1 = \frac{39 + 21}{10} = \frac{60}{10} = 6$ cm ve $w_2 = \frac{39 - 21}{10} = \frac{18}{10} = 1.8$ cm.
- Eğer $w = 6$ cm ise, $h = \frac{18}{6} = 3$ cm olur. Bu durumda $10w + 6h = 10(6) + 6(3) = 60 + 18 = 78$ cm, verilen çevreye uyar.
- Eğer $w = 1.8$ cm ise, $h = \frac{18}{1.8} = 10$ cm olur. Bu durumda $10w + 6h = 10(1.8) + 6(10) = 18 + 60 = 78$ cm, yine verilen çevreye uyar.
- Her iki durumda da bir küçük dikdörtgenin alanı $wh = 18$ cm$^2$'dir.
- Boyanmamış dikdörtgenlerin toplam alanı $8 \times wh = 8 \times 18 = 144$ cm$^2$'dir.
- Doğru Seçenek D'dır.