Sorunun Çözümü
- $\sqrt{128}$ ifadesini $a\sqrt{b}$ şeklinde yazmak için $128$'in çarpanlarını inceleriz.
- $128 = 64 \times 2$ olduğundan, $\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64}\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ olur.
- Buna göre, $a\sqrt{b} = 8\sqrt{2}$ eşitliğini sağlayan $a$ ve $b$ doğal sayıları için farklı durumları değerlendiririz.
- Genel olarak, $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ olduğundan, $a^2 b = 128$ olmalıdır.
- $a$ ve $b$ doğal sayılar olduğu için, $a^2$ değeri $128$'in bir tam kare çarpanı olmalıdır. Olası $(a, b)$ çiftleri ve $a+b$ değerleri şunlardır:
- Eğer $a=1$ ise, $1^2 \times b = 128 \implies b=128$. Bu durumda $a+b = 1+128 = 129$.
- Eğer $a=2$ ise, $2^2 \times b = 128 \implies 4b=128 \implies b=32$. Bu durumda $a+b = 2+32 = 34$.
- Eğer $a=4$ ise, $4^2 \times b = 128 \implies 16b=128 \implies b=8$. Bu durumda $a+b = 4+8 = 12$.
- Eğer $a=8$ ise, $8^2 \times b = 128 \implies 64b=128 \implies b=2$. Bu durumda $a+b = 8+2 = 10$.
- $a+b$ ifadesinin alabileceği en küçük değer $10$'dur.
- Doğru Seçenek B'dır.